Question

10．如圖所示，在豎直平面內(nèi)，虛線MO與水平線PQ相交于O，二者夾角θ=30°，在MOP范圍內(nèi)存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，MOQ上方的某個(gè)區(qū)域有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，O點(diǎn)處在磁場(chǎng)的邊界上，現(xiàn)有一群質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子在紙面內(nèi)以速度v（0≤v≤$\frac{E}{B}$）垂直于MO從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，所有粒子通過(guò)直線MO時(shí)，速度方向均平行于PQ向左，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力．求：
（1）速度最大的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）速度最大的粒子打在水平線POQ上的位置離O點(diǎn)的距離；
（3）磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題設(shè)條件畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)軌道知，粒子經(jīng)歷三個(gè)運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)、離開(kāi)磁場(chǎng)后的勻速直線運(yùn)動(dòng)和進(jìn)入電場(chǎng)后的類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題設(shè)條件分三段分別利用運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即可；
（2）分三段求PO間的距離，圓周運(yùn)動(dòng)部分、勻速運(yùn)動(dòng)部分和類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)部分．
（3）根據(jù)題目條件，磁場(chǎng)區(qū)域只需要存在于粒子發(fā)生偏轉(zhuǎn)的過(guò)程中，作出不同速度粒子的偏情況，求出滿足條件的磁場(chǎng)區(qū)域即可．

解答 解：（1）因粒子通過(guò)直線MO時(shí)，速度方向均平行于PQ向左，說(shuō)明粒子速度方向改變了$\frac{2π}{3}$，由幾何關(guān)系可得粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．設(shè)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，周期為T(mén)，粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁
因?yàn)?T=\frac{2πm}{Bq}$
所以${t_1}=\frac{1}{3}T=\frac{2πm}{3qB}$
（2）由 $Bqv=\frac{m{v}^{2}}{R}$
得$R=\frac{mv}{qB}=\frac{mE}{{q{B^2}}}$
設(shè)粒子自N點(diǎn)水平飛出磁場(chǎng)，出磁場(chǎng)后應(yīng)做勻速運(yùn)動(dòng)至OM，設(shè)勻速運(yùn)動(dòng)的距離為s，由幾何關(guān)系知：$s=\frac{R}{tanθ}=\frac{{\sqrt{3}mE}}{{q{B^2}}}$
過(guò)MO后粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，
則：$R+Rsin{30°}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t_2}^2$，${t_2}=\frac{{\sqrt{3}m}}{qB}$，
由幾何關(guān)系知，速度最大的粒子打在水平線POQ上的位置離O點(diǎn)的距離$L=OP=Rcosθ+s+v{t_2}=\frac{{\sqrt{3}mE}}{{2{B^2}q}}+\frac{{\sqrt{3}mE}}{{{B^2}q}}+\frac{{\sqrt{3}mE}}{{{B^2}q}}=\frac{{5\sqrt{3}mE}}{{2{B^2}q}}$，
（3）由題知速度大小不同的粒子均要水平通過(guò)OM，則其飛出磁場(chǎng)的位置均應(yīng)在ON的連線上，故磁場(chǎng)范圍的最小面積△S是速度最大的粒子在磁場(chǎng)中的軌跡與ON所圍成的面積，
扇形OO′N(xiāo)的面積$S=\frac{1}{3}π{R}^{2}$ 
△OO′N(xiāo)的面積為：S′=R²cos30°sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$
又△S=S-S'
聯(lián)立得：$△S=（\frac{π}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}）\frac{{{m^2}{E^2}}}{{{q^2}{B^4}}}$
答：（1）速度最大的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{2πm}{3qB}$；
（2）速度最大的粒子打在水平線POQ上的位置離O點(diǎn)的距離為$\frac{5\sqrt{3}mE}{2{B}^{2}q}$；
（3）磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為$（\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}）\frac{{m}^{2}{E}^{2}}{{q}^{2}{B}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)和在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，對(duì)學(xué)生幾何能力要求較高．