Question

2．如圖所示，虛線MO與水平線PQ相交于O，二者夾角θ=30°，在MO右側(cè)存在電場(chǎng)強(qiáng)度為E、方向豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，MO左側(cè)某個(gè)區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，O點(diǎn)處在磁場(chǎng)的邊界上，現(xiàn)有一群質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子在紙面內(nèi)以速度v（0≤v≤E/B）垂直于MO從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，所有粒子通過直線MO時(shí)，速度方向均平行于PQ向右，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力，求：

（1）速度最大的粒子自O(shè)開始射入磁場(chǎng)至返回水平線POQ所用的時(shí)間．
（2）磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，周期為T，先求出粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，粒子自N點(diǎn)水平飛出磁場(chǎng)，出磁場(chǎng)后應(yīng)做勻速運(yùn)動(dòng)至OM，根據(jù)幾何關(guān)系及速度時(shí)間公式求出時(shí)間，過MO后粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式求出此過程中的時(shí)間，三段時(shí)間之和即為總時(shí)間；
（2）由題知速度大小不同的粒子均要水平通過OM，則其飛出磁場(chǎng)的位置均應(yīng)在ON的連線上，故磁場(chǎng)范圍的最小面積△S是速度最大的粒子在磁場(chǎng)中的軌跡與ON所圍成的面積．

解答 解：（1）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，

設(shè)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，周期為T，
粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁則$Bqv=\frac{m{v}^{2}}{R}$ 
$R=\frac{mv}{qB}$，周期T=$\frac{2πm}{Bq}$
則
${t}_{1}=\frac{1}{3}T$
設(shè)粒子自N點(diǎn)水平飛出磁場(chǎng)，出磁場(chǎng)后應(yīng)做勻速運(yùn)動(dòng)至OM，設(shè)勻速運(yùn)動(dòng)的距離為s，勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，
由幾何關(guān)系知：
S=Rcotθ  
${t}_{2}=\frac{s}{v}$
過MO后粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃，則：$\frac{3}{2}R=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{{t}_{3}}^{2}$
又由題知：$v=\frac{E}{B}$
則速度最大的粒子自O(shè)進(jìn)入磁場(chǎng)至重回水平線POQ所用的時(shí)間t=t₁+t₂+t₃
解得：$t=\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3Bq}$
（2）由題知速度大小不同的粒子均要水平通過OM，則其飛出磁場(chǎng)的位置均應(yīng)在ON的連線上，故磁場(chǎng)范圍的最小面積△S是速度最大的粒子在磁場(chǎng)中的軌跡與ON所圍成的面積．


扇形OO′N的面積$S=\frac{1}{3}π{R}^{2}$ 
△OO′N的面積為：S′=R²cos30°sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$
又△S=S-S'
聯(lián)立得：$△S=（\frac{π}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}）\frac{{{m^2}{E^2}}}{{{q^2}{B^4}}}$
答：（1）速度最大的粒子自O(shè)開始射入磁場(chǎng)至返回水平線POQ所用的時(shí)間為$\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3Bq}$；
（2）磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為$（\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}）\frac{{m}^{2}{E}^{2}}{{q}^{2}{B}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 做好此類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，利用幾何知識(shí)求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，再結(jié)合半徑公式和周期公式去分析．