Question

2．如圖所示，虛線MO與水平線PQ相交于O，二者夾角θ=30°，在MO右側存在電場強度為E、方向豎直向上的勻強電場，MO左側某個區(qū)域存在磁感應強度為B、垂直紙面向里的勻強磁場，O點處在磁場的邊界上，現(xiàn)有一群質量為m、電量為+q的帶電粒子在紙面內以速度v（0≤v≤E/B）垂直于MO從O點射入磁場，所有粒子通過直線MO時，速度方向均平行于PQ向右，不計粒子的重力和粒子間的相互作用力，求：

（1）速度最大的粒子自O開始射入磁場至返回水平線POQ所用的時間．
（2）磁場區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）粒子的運動軌跡如圖所示，設粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的半徑為R，周期為T，先求出粒子在勻強磁場中運動時間，粒子自N點水平飛出磁場，出磁場后應做勻速運動至OM，根據(jù)幾何關系及速度時間公式求出時間，過MO后粒子做類平拋運動，根據(jù)平拋運動的基本公式求出此過程中的時間，三段時間之和即為總時間；
（2）由題知速度大小不同的粒子均要水平通過OM，則其飛出磁場的位置均應在ON的連線上，故磁場范圍的最小面積△S是速度最大的粒子在磁場中的軌跡與ON所圍成的面積．

解答 解：（1）粒子的運動軌跡如圖所示，

設粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的半徑為R，周期為T，
粒子在勻強磁場中運動時間為t₁則$Bqv=\frac{m{v}^{2}}{R}$ 
$R=\frac{mv}{qB}$，周期T=$\frac{2πm}{Bq}$
則
${t}_{1}=\frac{1}{3}T$
設粒子自N點水平飛出磁場，出磁場后應做勻速運動至OM，設勻速運動的距離為s，勻速運動的時間為t₂，
由幾何關系知：
S=Rcotθ  
${t}_{2}=\frac{s}{v}$
過MO后粒子做類平拋運動，設運動的時間為t₃，則：$\frac{3}{2}R=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{{t}_{3}}^{2}$
又由題知：$v=\frac{E}{B}$
則速度最大的粒子自O進入磁場至重回水平線POQ所用的時間t=t₁+t₂+t₃
解得：$t=\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3Bq}$
（2）由題知速度大小不同的粒子均要水平通過OM，則其飛出磁場的位置均應在ON的連線上，故磁場范圍的最小面積△S是速度最大的粒子在磁場中的軌跡與ON所圍成的面積．


扇形OO′N的面積$S=\frac{1}{3}π{R}^{2}$ 
△OO′N的面積為：S′=R²cos30°sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$
又△S=S-S'
聯(lián)立得：$△S=（\frac{π}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}）\frac{{{m^2}{E^2}}}{{{q^2}{B^4}}}$
答：（1）速度最大的粒子自O開始射入磁場至返回水平線POQ所用的時間為$\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3Bq}$；
（2）磁場區(qū)域的最小面積為$（\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}）\frac{{m}^{2}{E}^{2}}{{q}^{2}{B}^{4}}$．

點評 做好此類題目的關鍵是準確的畫出粒子運動的軌跡圖，利用幾何知識求出粒子運動的半徑，再結合半徑公式和周期公式去分析．