Question

16．如圖所示，A、B兩物體的質(zhì)量分別是m₁和m₂，其接觸面光滑，與水平面的夾角為θ，若A、B與水平地面的動摩擦系數(shù)都是μ，用水平力F推A，使A、B一起加速運動，求：
（1）A、B間的相互作用力
（2）為維持A、B間不發(fā)生相對滑動，力F的取值范圍．
（3）當A、B與水平地面間光滑時，且又m₁=m₂=m時，則F的取值范圍是多少？

Answer 1

分析 （1）對A、B系統(tǒng)根據(jù)牛頓第二定律求加速度；隔離B，根據(jù)牛頓第二定律求出A、B間的相互作用力；
（2）（3）分別以m₁和（m₁+m₂）組成的整體為研究的對象，對它們進行受力分析，結(jié)合牛頓第二定律列出方程，即可求解．

解答 解：（1）對A、B組成的整體，根據(jù)牛頓第二定律，有
F-μ（m₁+m₂）g=（m₁+m₂）a
解得：$a=\frac{F}{{m}_{1}+{m}_{2}}$-μg
隔離B，對B受力分析如圖，
根據(jù)牛頓第二定律，有
Nsinθ-μm₂g=m₂a
解得：N=$\frac{{m}_{2}F}{（{m}_{1}+{m}_{2}）sinθ}$
（2）若要二者一起做加速運動，則推力要大于摩擦力，即：F＞μ（m₁+m₂）g
當m₁恰好要相對于m₂發(fā)生運動時，F(xiàn)達到最大值．此時m₁在豎直方向上不再受到地面的支持力，它只受到重力、推力和m₂的彈力，設(shè)對m₁的彈力大小為N，
則豎直方向：m₁g=Ncosθ
水平方向：F-Nsinθ=m₁a
以（m₁+m₂）組成的整體為研究的對象，它們 在豎直方向：N′=（m₂+m₁）g
水平方向：F-μN′=（m₂+m₁）a
聯(lián)立以上方程得：F=μ（m₁+m₂）g+$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{m}_{1}}（F-{m}_{1}gtanθ）$
所以，為了維持長方形兩部分不發(fā)生相對運動則F的允許取值范圍是：μ（m₁+m₂）g＜F≤μ（m₁+m₂）g+$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{m}_{1}}（F-{m}_{1}gtanθ）$
（3）當A、B與水平地面間光滑時，且又m₁=m₂=m時
若要二者一起做加速運動，則推力要大于摩擦力，即：F＞0
當m₁恰好要相對于m₂發(fā)生運動時，F(xiàn)達到最大值．此時m₁在豎直方向上不再受到地面的支持力，它只受到重力、推力和m₂的彈力，設(shè)對m₁的彈力大小為N，
則豎直方向：m₁g=Ncosθ
水平方向：F-Nsinθ=m₁a
以（m₁+m₂）組成的整體為研究的對象，它們 在豎直方向：N′=（m₂+m₁）g
水平方向：F-=（m₂+m₁）a
聯(lián)立以上方程得：F=$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{m}_{1}}（F-{m}_{1}gtanθ）$
所以，為了維持長方形兩部分不發(fā)生相對運動則F的允許取值范圍是：0＜F≤$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{m}_{1}}（F-{m}_{1}gtanθ）$
答：（1）A、B間的相互作用力為$\frac{{m}_{2}F}{（{m}_{1}+{m}_{2}）sinθ}$
（2）為維持A、B間不發(fā)生相對滑動，力F的取值范圍為μ（m₁+m₂）g＜F≤μ（m₁+m₂）g+$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{m}_{1}}（F-{m}_{1}gtanθ）$．
（3）當A、B與水平地面間光滑時，且又m₁=m₂=m時，則F的取值范圍是0＜F≤$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{m}_{1}}（F-{m}_{1}gtanθ）$

點評 該題考查牛頓第二定律應(yīng)用中的臨界問題，一定要找到題目的題眼，該題中為：當F達到最大值時，m恰好要相對于M發(fā)生運動時，此時m在豎直方向上不再受到地面的支持力．