Question

如圖所示，一個帶有圓弧的粗糙滑板A，總質量為m_A=3kg，其圓弧部分與水平部分相切于P，水平部分PQ長為L=3.75m．開始時A靜止在光滑水平面上，有一質量為m_B=2kg的小木塊B從滑板A的右端以水平初速度v₀=5m/s滑上A，小木塊B與滑板A之間的動摩擦因數(shù)為μ=0.15，小木塊B滑到滑板A的左端并沿著圓弧部分上滑一段弧長后返回最終停止在滑板A上。

（1）求A、B相對靜止時的速度大小；

（2）若B最終停在A的水平部分上的R點，P、R相距1m，求B在圓弧上運動過程中因摩擦而產生的內能；

（3）若圓弧部分光滑，且除v₀不確定外其他條件不變，討論小木塊B在整個運動過程中，是否有可能在某段時間里相對地面向右運動？如不可能，說明理由；如可能，試求出B既能向右滑動、又不滑離木板A的v₀取值范圍。(取g＝10m/s²，結果可以保留根號)

Answer 1

【解析】（1）彈簧剛好恢復原長時，A和B物塊速度的大小分別為υ_A、υ_B．

由動量守恒定律有：0 = m_Aυ_A - m_Bυ_B                      2分

此過程機械能守恒有：E_p = m_Aυ+m_Bυ     2分

代入E_p＝108J，解得：υ_A＝6m/s，υ_B = 12m/s，A的速度向右，B的速度向左．2分

（2）C與B碰撞時，設碰后B、C粘連時速度為υ′，據C、B組成的系統(tǒng)動量守恒

有：m_Bυ_B -m_Cυ_C = （m_B+m_C）υ′  代入數(shù)據得υ′ = 4m/s，υ′的方向向左   2分

此后A和B、C組成的系統(tǒng)動量守恒，機械能守恒，當彈簧第二次壓縮最短時，彈簧具有的彈性勢能最大為E_p′，且此時A與B、C三者有相同的速度為υ     2分

則有： m_Aυ_A -（m_B+m_C）υ′ = （m_A+m_B+m_C）υ，代入數(shù)據得υ = 1m/s，υ的方向向右．2分

機械能守恒：m_Aυ+（m_B+m_C）υ^′2 = E_p′+（m_A+m_B+m_C）υ²，   2分

代入數(shù)據得        E′_p＝50J．        2分

18、（16分）（1）小木塊B從開始運動直到A、B相對靜止的過程中，系統(tǒng)水平方向上動量守恒，有                                 ①

解得  ＝2 m/s                                   ②

（2）B在A的圓弧部分的運動過程中，它們之間因摩擦產生的內能為Q₁，B在A的水平部分往返的運動過程中，它們之間因摩擦產生的內能為Q₂，由能量關系得到

                                   ③

                                             ④

              ⑤

（3）設小木塊B下滑到P點時速度為v_B，同時A的速度為v_A，由動量守恒和能量關系可以得到                                            ⑥

                      ⑦

由⑥⑦兩式可以得到

，令

，化簡后為                        ⑧

若要求B最終不滑離A，由能量關系必有

                                      ⑨

化簡得                                                           ⑩

故B既能對地向右滑動，又不滑離A的條件為

                                                         ⑾

即  （ ）                   ⑿

本題共16分．①③⑧⑨每式2分，其余各式每式1分