Question

4．質量為m=1kg的小球置于高h=0.8m的水平桌面的右邊緣A點，現給其一水平向右的初速度，小球恰好無碰撞地沿圓弧切線從B 點進入豎直光滑圓孤軌道．B、C 為圓弧的兩端點，其連線水平，已知圓弧半徑R=1.0m，圓弧對應圓心角θ=106°，軌道最低點為O，固定斜面剛好與圓弧的C點相切．小球離開圓弧軌道后沿斜面繼續(xù)向上運動，其能到達的最高點為D 點．小球與斜面間的動摩擦因素為0.5．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）試求：

（1）小物塊離開A點的水平初速度v_A；
（2）小物塊經過O點時對軌道的壓力；
（3）斜面上CD間的距離．

Answer 1

分析 （1）小物塊從A到B的過程做平拋運動，根據高度求出經過B點時豎直方向上的分速度，根據平行四邊形定則求出物體運動到A點的速度．
（2）由速度的合成求出B點的速度．小物塊從B到0，運用動能定理可以求出小物塊經過O點時的速度．在O點，由合力提供向心力，由牛頓定律求壓力．
（3）小物塊沿斜面上滑時做勻減速運動，根據牛頓第二定律求出加速度的大小，再由運動學公式求CD間的距離．

解答 解：（1）對小物塊，由A到B做平拋運動，則有
  ${v}_{y}^{2}$=2gh
得經過B點時豎直方向上的分速度 v_y=4m/s
在B點，有 tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{A}}$    所以 v_A=3m/s
（2）對小物塊，經過B點的速度 v_B=$\sqrt{{v}_{A}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=5m/s
由B到O，由動能定理有
   mgR（1-cos53°）=$\frac{1}{2}m{v}_{O}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在O點，由牛頓第二定律有 N-mg=m$\frac{{v}_{O}^{2}}{R}$   
 所以  N=43N
由牛頓第三定律知對軌道的壓力為 N′=N=43N
（3）物塊沿斜面上滑時，由牛頓第二定律有：
   mgsin53°+μmgcos53°=ma
解得加速度大小 a=11 m/s²；
由機械能守恒知 v_C=v_B=5m/s
小物塊由C上升到最高點D點的位移為 x=$\frac{{v}_{C}^{2}}{2a}$=$\frac{25}{22}$m
答：
（1）小物塊離開A點的水平初速度v_A是3m/s．
（2）小物塊經過O點時對軌道的壓力是43N；
（3）斜面上CD間的距離為$\frac{25}{22}$m．

點評 對于平拋運動，要知道平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做自由落體運動，掌握分運動的規(guī)律，以及明確圓周運動向心力的來源是解決本題的關鍵．