Question

8．近年來(lái)，隨著對(duì)火星的了解越來(lái)越多，人類已經(jīng)開始進(jìn)行移民火星的科學(xué)探索．2013年2月，荷蘭一家名為“火星一號(hào)”的公司宣布計(jì)劃在2023年把四名宇航員送上火星，在目前收到的37000多個(gè)報(bào)名意向中，中國(guó)人達(dá)到了45個(gè)．回答下列問(wèn)題：
（1）設(shè)航天器從地球表面起飛后做加速度為$\frac{1}{2}$g、豎直向上的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，上升到某一高度時(shí)，儀器顯示人對(duì)水平座椅的壓力為起飛前的$\frac{17}{18}$，求此時(shí)飛船離地球表面的高度h（不考慮地球的自轉(zhuǎn)，地球的半徑為R，表面的重力加速度為g）；
（2）若登陸火星后，測(cè)得火星半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$，求火星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度的比值．

Answer 1

分析 以測(cè)試儀器為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律求出某一高度處的重力加速度，再由重力等于萬(wàn)有引力，應(yīng)用比例法求解火箭離地面的高度．
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出第一宇宙速度的關(guān)系，在求其比值．

解答 解：（1）飛船起飛前，人對(duì)水平座椅的壓力
${F}_{壓}=G\frac{Mm}{{R}^{2}}={m}_{0}g$
在距離地面高度為h時(shí)，地球?qū)θ说娜f(wàn)有引力
$F=G\frac{M{m}_{0}}{（R+h）^{2}}$
設(shè)此時(shí)水平座椅對(duì)人的支持力為F₁，則
${F}_{1}-F={m}_{0}\frac{g}{2}$
又根據(jù)${F}_{1}=\frac{17}{18}{F}_{壓}$
可得：h=$\frac{R}{2}$
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
則有：$\frac{v′}{v}=\frac{\sqrt{\frac{GM′}{R′}}}{\sqrt{\frac{GM}{R}}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$
答：（1）此時(shí)飛船離地球表面的高度h為$\frac{R}{2}$．
（2）火星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度的比值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 通過(guò)物理規(guī)律把進(jìn)行比較的物理量表示出來(lái)，再通過(guò)已知的物理量關(guān)系求出問(wèn)題是選擇題中常見(jiàn)的方法．把星球表面的物體運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)結(jié)合起來(lái)是考試中常見(jiàn)的問(wèn)題．