Question

19．如圖所示，AB是半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道．B點(diǎn)的切線在水平方向，A點(diǎn)距地面高度為H，質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)由靜止釋放，最后落在地面上C點(diǎn)處，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）小球剛運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度及軌道對(duì)小球的支持力．
（2）小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離x．
（3）比值$\frac{R}{H}$為多少時(shí)，小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)水平位移x最大．最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒求得速度，然后由牛頓第二定律求得支持力；
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)位移規(guī)律求得水平位移；
（3）根據(jù)x的表達(dá)式，進(jìn)行配方求得最大值．

解答 解：（1）小球從A到B只有重力做功，機(jī)械能守恒，故有：$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以，小球剛運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度${v}_{B}=\sqrt{2gR}$；
對(duì)小球在B點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：軌道對(duì)小球的支持力${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=3mg$；
（2）小球從B到C做平拋運(yùn)動(dòng)，故有位移關(guān)系式：$H-R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，$x={v}_{B}t=\sqrt{2gR}•\sqrt{\frac{2（H-R）}{g}}=2\sqrt{（H-R）R}$；
（3）$（H-R）R=HR-{R}^{2}=\frac{1}{4}{H}^{2}-（R-\frac{1}{2}H）^{2}$，故當(dāng)$R=\frac{1}{2}H$，即$\frac{R}{H}=\frac{1}{2}$時(shí)，位移$x=2\sqrt{（H-R）R}=H$最大；
答：（1）小球剛運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度為$\sqrt{2gR}$，軌道對(duì)小球的支持力為3mg．
（2）小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離x為$2\sqrt{（H-R）R}$．
（3）比值$\frac{R}{H}$為$\frac{1}{2}$時(shí)，小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)水平位移x最大．最大值是H．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．