Question

7．如圖所示，在直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)分成三個(gè)區(qū)域，邊長為l的正方形OPMN為區(qū)域1，區(qū)域1內(nèi)存在方向水平向右、大小為E的勻強(qiáng)電場；x=l的右側(cè)為區(qū)域2，區(qū)域2內(nèi)存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場；擋板MN上方為區(qū)域3．質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子從O點(diǎn)靜止釋放，經(jīng)區(qū)域1中電場的加速和區(qū)域2磁場的偏轉(zhuǎn)，剛好到達(dá)Q點(diǎn)．已知PQ=2l，不計(jì)帶電粒子的重力．
（1）試求：區(qū)域2中磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（2）在其他條件不變的情況下，在區(qū)域1哪些位置靜止釋放帶電粒子，這些粒子經(jīng)電場加速和慈航偏轉(zhuǎn)后都能到達(dá)Q點(diǎn)；
（3）在（2）問的情況下，為使所有到達(dá)Q點(diǎn)的粒子都能達(dá)到擋板MN上，需在區(qū)域3加上y方向的電場，試求：此電場的方向和電場強(qiáng)度的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件，當(dāng)從O點(diǎn)出發(fā)的帶電粒子經(jīng)電場加速再進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)恰到Q點(diǎn)，由動(dòng)能定理求出進(jìn)入磁場的速度，由洛侖茲力提供向心力從而求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．
（2）設(shè)在區(qū)域Ⅰ中的（x，y）出發(fā)的帶電粒子經(jīng)電場加速后，進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)后恰到達(dá)Q點(diǎn)，同樣的道理由動(dòng)能定理各洛侖茲力提供向心力以及幾何關(guān)系，從而表示出滿足條件的位置坐標(biāo)方程．
（3）從Q點(diǎn)出發(fā)后，在Ⅲ區(qū)做類平拋運(yùn)動(dòng)，要使帶電粒子打到MN上，由于水平位移不能超過l，時(shí)間由電場決定，從而表示出區(qū)域Ⅲ內(nèi)場強(qiáng)的大小，再由x的范圍就能求出該區(qū)域內(nèi)電場強(qiáng)度的最小值．

解答 解：（1）由題意，帶電粒子從O點(diǎn)靜止釋放，經(jīng)區(qū)域1中電場的加速和區(qū)域2磁場的偏轉(zhuǎn)，剛好到達(dá)Q點(diǎn)．
  在正方形電場中，$Eql=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
  由幾何關(guān)系知，帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為l，由洛侖茲力提供向心力有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{l}$
  聯(lián)立可得：B=$\sqrt{\frac{2Em}{ql}}$
（2）設(shè)坐標(biāo)為（x，y）處的粒子在電場中先加速，進(jìn)入磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同理有：
  $Eq（l-x）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
  $qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
  其中  $R=\frac{2l-y}{2}$
  聯(lián)立可得：y=$2l-2\sqrt{l（l-x）}$
  由于區(qū)域的限制y＜l，即x＜$\frac{3}{4}l$   
  所以釋放帶電粒子的位置為曲線方程為  y=$2l-2\sqrt{l（l-x）}$，x$＜\frac{3}{4}l$的曲線上．
（3）到達(dá)Q點(diǎn)后帶電粒子進(jìn)入Ⅲ區(qū)做類平拋運(yùn)動(dòng)，要使帶電粒子能到達(dá)MN上，則勻強(qiáng)電場方向應(yīng)豎直向下，由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：
  豎直方向有：$l=\frac{1}{2}a{t}^{2}$   而$a=\frac{{E}_{3}q}{m}$，
  且x=vt≤l 
  結(jié)合（2）中的相關(guān)公式有：${E}_{3}≥\frac{4（l-x）}{l}$E，顯然當(dāng)l-x=l時(shí)，E₃有最小值，為4E．
答：（1）區(qū)域2中磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\sqrt{\frac{2Em}{ql}}$．
（2）在其他條件不變的情況下，在區(qū)域1滿足y=$2l-2\sqrt{l（l-x）}$ （x$＜\frac{3}{4}l$  ）方程位置靜止釋放帶電粒子，經(jīng)電場加速和慈航偏轉(zhuǎn)后都能到達(dá)Q點(diǎn)．
（3）在（2）問的情況下，為使所有到達(dá)Q點(diǎn)的粒子都能達(dá)到擋板MN上，需在區(qū)域3加上負(fù)y方向的電場，此電場的方向和電場強(qiáng)度的最小值為4E．

點(diǎn)評 本題的物理過程明確，運(yùn)用的規(guī)律也只有兩個(gè)：動(dòng)能定理和牛頓第二定律，但要注意的是結(jié)合幾何關(guān)系，及x出發(fā)的粒子有一個(gè)范圍，才能得到位置坐標(biāo)方程．第三問又綜合了類平拋運(yùn)動(dòng)相關(guān)知識，由于打在MN上的時(shí)間由電場強(qiáng)度決定，要注意的是水平位移不能超過l，列出相關(guān)等式和不等式，就能求出場強(qiáng)的最小值．