Question

1．如圖所示，豎直環(huán)A半徑為r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側(cè)各有一擋板固定在地上，B不能左右運(yùn)動(dòng)，在環(huán)的最低點(diǎn)靜放有一小球C，A、B、C的質(zhì)量均為m，現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時(shí)速度v，小球會(huì)在圓環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，為保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，且不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起，初速度v必須滿足（　�。�

• A． 最小值為$\sqrt{4gr}$
• B． 最大值為$\sqrt{6gr}$
• C． 最小值為$\sqrt{5gr}$
• D． 最大值為$\sqrt{7gr}$

Answer 1

分析 小球在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，通過最高點(diǎn)速度最小時(shí)，軌道對(duì)球的最小彈力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出小球在最高點(diǎn)的最小速度；為了不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起，小球在最高點(diǎn)對(duì)軌道的彈力不能大于5mg，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的最大速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球在最低點(diǎn)的速度范圍．

解答 解：在最高點(diǎn)，速度最小時(shí)有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：v₁=$\sqrt{gR}$．
從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，設(shè)最低點(diǎn)的速度為v₁′，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：
2mgR+$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₁′²
解得：v₁′=$\sqrt{5gR}$．
要使不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起，環(huán)對(duì)球的壓力最大為：
F=2mg+3mg=5mg
從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，設(shè)此時(shí)最低點(diǎn)的速度為v₂′，
在最高點(diǎn)，速度最大時(shí)有：mg+5mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得：v₂=$\sqrt{6gR}$．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：2mgR+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₂′²
解得：v₂′=$\sqrt{10gR}$．
所以保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，且不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起，在最低點(diǎn)的速度范圍為：$\sqrt{5gR}$≤v≤$\sqrt{10gR}$．故CD正確，AB錯(cuò)誤．
故選：CD．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律，關(guān)鍵理清在最高點(diǎn)的兩個(gè)臨界情況，求出在最高點(diǎn)的最大速度和最小速度．