Question

14．如圖所示，一個(gè)豎直放置的圓錐筒可繞其中心OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，筒內(nèi)壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為R=8cm和H=6cm，筒內(nèi)壁A點(diǎn)的高度為筒高的一半．在內(nèi)壁A點(diǎn)處放置一小物塊．認(rèn)為物塊受到的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度g=10m/s²．
（1）當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在筒壁A點(diǎn)的物塊恰好能靜止，求物塊與筒壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)．
（2）當(dāng)物塊在A點(diǎn)隨筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其受到的摩擦力為零時(shí)，筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物塊受到重力、筒壁A的靜摩擦力和支持力作用，根據(jù)平衡條件求解．角度由數(shù)學(xué)知識(shí)求出．
（2）當(dāng)物塊在A點(diǎn)隨筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其受到的摩擦力為零時(shí)，由重力和支持力的合力提供物塊的向心力，由牛頓第二定律求解．

解答 解：（1）設(shè)小物塊的質(zhì)量為m，當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動(dòng)、物塊靜止在筒壁A點(diǎn)時(shí)，物塊受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，由平衡條件得：
摩擦力的大小f=mgsinθ=$\frac{H}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$mg     
支持力的大小N=mgcosθ=$\frac{R}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$mg    
動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{f}{N}$=$\frac{H}{R}$=0.75．
（2）當(dāng)物塊在A點(diǎn)隨筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其所受到的摩擦力為零時(shí)，物塊在筒壁A點(diǎn)時(shí)受到的重力和支持力作用，它們的合力提供向心力，設(shè)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，有：
  mgtanθ=mω²•$\frac{R}{2}$   
聯(lián)立以上各式解得：ω=$\frac{5}{2}\sqrt{30}$ rad/s． 
答：
（1）物塊與筒壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.75．
（2）當(dāng)物塊在A點(diǎn)隨筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其受到的摩擦力為零時(shí)，筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為$\frac{5}{2}\sqrt{30}$ rad/s．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓錐擺類型．關(guān)于向心力應(yīng)用的基本方程是：指向圓心的合力等于向心力，其實(shí)是牛頓第二定律的特例．