Question

17．如圖所示，左側(cè)光滑軌道上端豎直且足夠高，質(zhì)量為m=1kg的小球由高度為h=1.07m的A點(diǎn)以某一初速度沿軌道下滑，進(jìn)入相切的粗糙水平軌道BC，BC段長(zhǎng)L=1.00米，與小球間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.02．小球然后又進(jìn)入與BC相切于C點(diǎn)的光滑半圓軌道CD，CD的半徑為r=0.50m，另一半徑R=L的光滑圓弧軌道EF與CD靠近，E點(diǎn)略低于D點(diǎn)，使可以當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)的小球能在通過(guò)端點(diǎn)后，無(wú)碰撞地進(jìn)入另一軌道，EF軌道長(zhǎng)度是$\frac{πR}{3}$，E端切線水平，所有軌道均固定在同一豎直平面內(nèi)，g=10m/s²，求：
（1）為了使小球能到達(dá)D點(diǎn)，小球在A點(diǎn)的初速度至少多大？
（2）為了使小球不越過(guò)F點(diǎn)，小球經(jīng)過(guò)D點(diǎn)的速度不能超過(guò)多少？
（3）小球最多能通過(guò)D點(diǎn)多少次？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求得在D點(diǎn)的最小速度，從A到D利用動(dòng)能定理求得最小速度；
（2）從D到F根據(jù)動(dòng)能定理求得經(jīng)過(guò)D點(diǎn)的最大速度；
（3）通過(guò)計(jì)算判斷出小球通過(guò)D點(diǎn)的動(dòng)能最大與最小之差，根據(jù)在粗糙面上的能量損失求得通過(guò)D點(diǎn)的次數(shù)

解答 解：（1）過(guò)D點(diǎn)的臨界條件$mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$
從A到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中由動(dòng)能定理，
$mg（h-2r）-μmgL=\frac{1}{2}m（{v}^{2}{-v}_{0}^{2}）$
解得v₀=2m/s
（2）小球進(jìn)入EF后，不能越過(guò)F，最大動(dòng)能
$mgR（1-cos60°）=\frac{1}{2}{mv}_{m}^{2}$
解得${v}_{m}=\sqrt{10}m/s$
（3）小球通過(guò)D點(diǎn)的動(dòng)能最大與最小之差
$△{E}_{k}=\frac{1}{2}m{（v}_{m}^{2}-{v}^{2}）=\frac{1}{2}mgR-\frac{1}{2}mgr$
每次往返BC段機(jī)械能的損失△E=2μmgL
損失次數(shù)$n=\frac{△{E}_{k}}{△E}=\frac{mg（R-r）}{4mgL}=6.25$取整數(shù)n=6
能通過(guò)D點(diǎn)的次數(shù)N=2n=12次   
答：（1）為了使小球能到達(dá)D點(diǎn)，小球在A點(diǎn)的初速度至少為2m/s
（2）為了使小球不越過(guò)F點(diǎn)，小球經(jīng)過(guò)D點(diǎn)的速度不能超過(guò)$\sqrt{10}m/s$
（3）小球最多能通過(guò)D點(diǎn)12次．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理，關(guān)鍵是抓住在第三問(wèn)中，能通過(guò)D點(diǎn)的最大動(dòng)能和最小動(dòng)能，明確損失的能量在BC段消耗即可求得．