Question

4．如圖所示，兩條平行的光滑金屬導軌固定在傾角為θ的絕緣斜面上，導軌上端連接一個定值電阻，導體棒a和b放在導軌上，與導軌垂直并接觸良好，斜面上水平虛線PQ以下區(qū)域內，存在著垂直斜面向上的磁場，磁感應強度大小為B₀．已知b棒的質量為m，a棒、b棒和定值電阻的阻值均為R，導軌電阻不計，重力加速度為g．
（1）斷開開關S，a棒、b棒固定在磁場中，恰與導軌構成一個邊長為L的正方形，磁場從B₀以$\frac{△B}{△t}$=k均勻增加，寫出a棒所受安培力F_安隨時間t變化的表達式．
（2）若接通開關S，同時對a棒施以平行導軌斜向上的拉力F，使它沿導軌勻速向上運動，此時放在導軌下端的b棒恰好靜止，當a棒運動到磁場的上邊界PQ處時，撤去拉力F，a棒將繼續(xù)沿導軌向上運動一小段距離后再向下滑動，此時b棒已滑離導軌，當a棒再次滑回到磁場上邊界PQ處時，又恰能沿導軌勻速向下運動，求a棒質量m_a及拉力F的大�。�

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應定律求解感應電動勢，根據閉合電路的歐姆定律電路的電流，根據安培力計算公式來解答；
（2）弄清楚電路連接情況，根據歐姆定律得干路電流，b棒保持靜止時根據共點力平衡條件列方程，分析a棒的運動情況，根據機械能守恒定律得到a棒返回磁場時速度，a棒勻速下滑時，根據共點力的平衡條件求解a棒的質量；a棒向上運動時受力平衡，由此求解拉力大小．

解答 解：（1）由法拉第電磁感應定律可得：E=$\frac{△Φ}{△t}=\frac{△B}{△t}{L}^{2}$，
根據閉合電路的歐姆定律可得：I=$\frac{E}{2R}$，
t時刻磁感應強度為：B=B₀+kt，
此時棒所受的安培力為：F_安=BIL，
解得：F_安=$\frac{k{L}^{3}}{2R}（{B}_{0}+kt）$
（2）根據題意可知，a棒沿斜面上運動時，a棒為電源，b棒和電阻R并聯(lián)，通過a棒的電流為I₁，
由并聯(lián)電路關系可得：I₁=I_b+I_R
b棒和電阻R阻值相等，則通過b棒的電流為：I_b=$\frac{1}{2}{I}_{1}$，
電路的總電阻為：R_總=$\frac{{R}_R}{{R}_+R}+{R}_{a}$，
由歐姆定律得干路電流為：I₁=$\frac{E}{{R}_{總}}$，
感應電動勢為：E=BLv，
b棒保持靜止，則有：mgsinθ=BI_bL，
a棒離開磁場后撤去拉力F，在a棒進入磁場前機械能守恒，返回磁場時速度還是v，此時a棒和電阻R串聯(lián)，則電路中的電流為：
${I}_{2}=\frac{E}{{R}_{a}+R}$
a棒勻速下滑，則有：m_agsinθ=BI₂L，
聯(lián)立以上各式，解得：m_a=$\frac{3}{2}m$，
a棒向上運動時受力平衡，則有：F=m_agsinθ+BI_aL，
解得：F=$\frac{7}{2}mgsinθ$．
答：（1）a棒所受安培力F_安隨時間t變化的表達式為F_安=$\frac{k{L}^{3}}{2R}（{B}_{0}+kt）$；
（2）a棒質量為$\frac{3}{2}m$，拉力F的大小為$\frac{7}{2}mgsinθ$．

點評 對于電磁感應問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點是分析安培力作用下導體棒的平衡問題，根據平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應現象中的能量轉化問題，根據動能定理、功能關系等列方程求解．