Question

4．如圖所示，兩條平行的光滑金屬導(dǎo)軌固定在傾角為θ的絕緣斜面上，導(dǎo)軌上端連接一個(gè)定值電阻，導(dǎo)體棒a和b放在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直并接觸良好，斜面上水平虛線PQ以下區(qū)域內(nèi)，存在著垂直斜面向上的磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀．已知b棒的質(zhì)量為m，a棒、b棒和定值電阻的阻值均為R，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，重力加速度為g．
（1）斷開開關(guān)S，a棒、b棒固定在磁場中，恰與導(dǎo)軌構(gòu)成一個(gè)邊長為L的正方形，磁場從B₀以$\frac{△B}{△t}$=k均勻增加，寫出a棒所受安培力F_安隨時(shí)間t變化的表達(dá)式．
（2）若接通開關(guān)S，同時(shí)對(duì)a棒施以平行導(dǎo)軌斜向上的拉力F，使它沿導(dǎo)軌勻速向上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)放在導(dǎo)軌下端的b棒恰好靜止，當(dāng)a棒運(yùn)動(dòng)到磁場的上邊界PQ處時(shí)，撤去拉力F，a棒將繼續(xù)沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)一小段距離后再向下滑動(dòng)，此時(shí)b棒已滑離導(dǎo)軌，當(dāng)a棒再次滑回到磁場上邊界PQ處時(shí)，又恰能沿導(dǎo)軌勻速向下運(yùn)動(dòng)，求a棒質(zhì)量m_a及拉力F的大�。�

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應(yīng)定律求解感應(yīng)電動(dòng)勢，根據(jù)閉合電路的歐姆定律電路的電流，根據(jù)安培力計(jì)算公式來解答；
（2）弄清楚電路連接情況，根據(jù)歐姆定律得干路電流，b棒保持靜止時(shí)根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件列方程，分析a棒的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得到a棒返回磁場時(shí)速度，a棒勻速下滑時(shí)，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件求解a棒的質(zhì)量；a棒向上運(yùn)動(dòng)時(shí)受力平衡，由此求解拉力大�。�

解答 解：（1）由法拉第電磁感應(yīng)定律可得：E=$\frac{△Φ}{△t}=\frac{△B}{△t}{L}^{2}$，
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得：I=$\frac{E}{2R}$，
t時(shí)刻磁感應(yīng)強(qiáng)度為：B=B₀+kt，
此時(shí)棒所受的安培力為：F_安=BIL，
解得：F_安=$\frac{k{L}^{3}}{2R}（{B}_{0}+kt）$
（2）根據(jù)題意可知，a棒沿斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，a棒為電源，b棒和電阻R并聯(lián)，通過a棒的電流為I₁，
由并聯(lián)電路關(guān)系可得：I₁=I_b+I_R
b棒和電阻R阻值相等，則通過b棒的電流為：I_b=$\frac{1}{2}{I}_{1}$，
電路的總電阻為：R_總=$\frac{{R}_R}{{R}_+R}+{R}_{a}$，
由歐姆定律得干路電流為：I₁=$\frac{E}{{R}_{總}}$，
感應(yīng)電動(dòng)勢為：E=BLv，
b棒保持靜止，則有：mgsinθ=BI_bL，
a棒離開磁場后撤去拉力F，在a棒進(jìn)入磁場前機(jī)械能守恒，返回磁場時(shí)速度還是v，此時(shí)a棒和電阻R串聯(lián)，則電路中的電流為：
${I}_{2}=\frac{E}{{R}_{a}+R}$
a棒勻速下滑，則有：m_agsinθ=BI₂L，
聯(lián)立以上各式，解得：m_a=$\frac{3}{2}m$，
a棒向上運(yùn)動(dòng)時(shí)受力平衡，則有：F=m_agsinθ+BI_aL，
解得：F=$\frac{7}{2}mgsinθ$．
答：（1）a棒所受安培力F_安隨時(shí)間t變化的表達(dá)式為F_安=$\frac{k{L}^{3}}{2R}（{B}_{0}+kt）$；
（2）a棒質(zhì)量為$\frac{3}{2}m$，拉力F的大小為$\frac{7}{2}mgsinθ$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．