Question

15．如圖所示，四個電阻均為R，電鍵K閉合時，有一質(zhì)量為m，帶電量大小為q的小球靜止于平行板電容器的中點(diǎn)O，現(xiàn)把電鍵打開，此小球就向平行板電容器的一個極板運(yùn)動，并和此極板碰撞，設(shè)碰撞沒有機(jī)械能損失，但碰撞時小球帶電量發(fā)生變化，碰后帶有和該板同種性質(zhì)的電荷，并恰好能運(yùn)動到平行板電容器的另一個極板，設(shè)兩極板間距為d，電源內(nèi)阻不計(jì)，試求：
（1）電源電動勢；
（2）小球和極板碰撞后的帶電量．

Answer 1

分析 （1）電鍵S閉合時，根據(jù)串并聯(lián)電路的特點(diǎn)，求出電容器板間電壓與電動勢的關(guān)系，對小球受力情況進(jìn)行分析，由電場力與重力平衡，即可求出板間電壓，解得電源的電動勢．
（2）斷開S，由電路的關(guān)系求出電容器的板間電壓，對帶電小球運(yùn)動的全過程，根據(jù)動能定理求解小球與極板碰撞后所帶的電量．

解答 解：（1）電鍵K閉合時，R₁和R₃的并聯(lián)電阻為R₁₃=0.5R
總電阻為R_總=R₄+R₁₃=1.5R，
總電流I=$\frac{E}{1.5R}$
R₄兩端電壓為${U}_{4}=IR=\frac{2}{3}e$，即為電容器兩端的電壓．
小球靜止，即電場力與重力平衡：qE_電=mg
又有U₄=E_電d，可得電源電動勢：$E=\frac{3mgd}{2q}$
（2）電鍵K打開時，R₄兩端電壓為${U′}_{4}=\frac{1}{2}E$，
平行板電容器間的電場強(qiáng)度變?yōu)?{E′}_{電}=\frac{{U′}_{4}}iy8a2e2=\frac{3mg}{4q}$
小球所受電場力變?yōu)?F′=q{E′}_{電}=\frac{3}{4}mg＜mg$
所以小球向下加速運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg-F′=ma
解得：$a=\frac{g}{4}$
小球到達(dá)下極板時的速度為：${v}_{1}=\sqrt{2a\fracyquu0wi{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{gd}$
碰撞沒有機(jī)械能損失，返回時${v}_{2}=\frac{1}{2}\sqrt{gd}$
向上運(yùn)動由動能定律有：$-mgd+{q}_{1}{U}_{4}′=0-\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$
解得：${q}_{1}=\frac{7}{6}q$
答：（1）電源電動勢為$\frac{3mgd}{2q}$；
（2）小球和極板碰撞后的帶電量為$\frac{7}{6}q$．

點(diǎn)評 本題是電路與電場兩部分知識的綜合，關(guān)鍵是確定電容器的電壓與電動勢的關(guān)系．