Question

3．如圖所示，xOy平面的第Ⅱ象限的某一位置由垂直紙面向外的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（圖中未畫(huà)出），矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的大小為B₁=1T，在第Ⅰ象限內(nèi)有平行于y軸豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在第Ⅳ象限內(nèi)有一半徑R=$\sqrt{2}$m的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂=1T，圓心坐標(biāo)為（6m，-$\sqrt{2}$m）．有一質(zhì)量m=10^-12kg，電量q=10^-7C的正電粒子從O點(diǎn)以速度v₀=1×10⁵m/s，沿與y軸正向成θ=30°方向射入第Ⅱ象限，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，立即從y軸上的點(diǎn)P（0，3m）垂直于y軸射入第Ⅰ象限的電場(chǎng)中，又從x軸上的點(diǎn)Q（6m，0）進(jìn)入第Ⅳ象限的圓形磁場(chǎng)中，最后經(jīng)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，粒子穿過(guò)y軸．不計(jì)粒子的重力．
求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大�。�
（2）矩形磁場(chǎng)B₁的最小面積S；
（3）粒子穿過(guò)y軸上的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及牛頓第二定律可求得電場(chǎng)強(qiáng)度大小；
（2）粒子在磁場(chǎng)1中做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系以及洛倫茲力充當(dāng)向心力可明確最小面積；
（3）根據(jù)第一象限中的類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及第四象限中的帶電粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)規(guī)律，根據(jù)幾何關(guān)系可明確粒子穿過(guò)y軸上的位置坐標(biāo)．

解答 解：（1）帶正電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
x方向上：x_Q=v0t
y方向上：y_P=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由牛頓第二定律可知：
qE=ma
解得：E=$\frac{1}{6}$×10⁵V/m=1.67×10⁴V/m；
（2）粒子在B₁磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖甲所示；
則有：
qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$
由幾何關(guān)系可知：
S_min=ab
a=$\frac{1}{2}r$
b=$\sqrt{3}$r
解得：
S_min=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m²；
（3）粒子在圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖乙所示則：
粒子經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)
qE=ma
v_y=at
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
根據(jù)洛倫茲力充當(dāng)向心力可知：
qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$
由幾何關(guān)系可知，四邊形QO₃MO₂為菱形，粒子將沿x軸負(fù)方向穿過(guò)y軸
由幾何關(guān)系可知：
tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
y=-（r₂+r₂cosα）
解得：y=-$\sqrt{2}$-1
所以粒子穿過(guò)的坐標(biāo)為：（0，-$\sqrt{2}$-1）
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小1.67×10⁴V/m；
（2）矩形磁場(chǎng)B₁的最小面積S為$\frac{\sqrt{3}}{2}$m²；
（3）粒子穿過(guò)y軸上的位置坐標(biāo)：（0，-$\sqrt{2}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)規(guī)律，要注意正確分析洛倫茲力的方向，明確幾何關(guān)系的正確應(yīng)用，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．