Question

17．如圖所示，半徑分別為R和r（R＞r）的甲、乙兩光滑圓軌道放置在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一光滑水平軌道CD相連，在水平軌道CD上有一輕彈簧被a、b兩個(gè)小球夾住，但不拴接．同時(shí)釋放兩小球，兩只小球都恰好能通過最高點(diǎn)，兩球離開半圓軌道后均做平拋運(yùn)動(dòng)落到水平軌道的同一點(diǎn)（不考慮小球在水平面上的反彈）．求：
（1）兩球?qū)�C、D兩點(diǎn)的壓力之比；
（2）CD軌道的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）抓住兩球恰好通過最高點(diǎn)，結(jié)合牛頓第二定律求出兩球在最高點(diǎn)的最小速度，根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律求出兩球在C、D兩點(diǎn)所受的支持力，結(jié)合動(dòng)量守恒定律求出兩球?qū)�C、D兩點(diǎn)的壓力之比；
（2）抓住兩球離開半圓軌道后均做平拋運(yùn)動(dòng)落到水平軌道的同一點(diǎn)，根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而得出平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移，求出CD軌道的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）兩只小球都恰好能通過最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
${m}_{1}g={m}_{1}\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，解得：${v}_{1}=\sqrt{gR}$，
${m}_{2}g=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{r}$，解得：${v}_{2}=\sqrt{gr}$，
分別對(duì)兩球運(yùn)動(dòng)動(dòng)能定理得：$-{m}_{1}g•2R=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}{′}^{2}$，
$-{m}_{2}g•2r=\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}{′}^{2}$，
在C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：${N}_{1}-{m}_{1}g={m}_{1}\frac{{v}_{1}{′}^{2}}{R}$，
在D點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：${N}_{2}-{m}_{2}g={m}_{2}\frac{{{v}_{2}′}^{2}}{r}$，
解得：N₁=6m₁g，N₂=6m₂g，${v}_{1}′=\sqrt{5gR}$，${v}_{2}′=\sqrt{5gr}$，
a、b兩球組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，規(guī)定向左為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
m₁v₁′-m₂v₂′=0，
解得：$\frac{{N}_{1}}{{N}_{2}}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{{v}_{2}′}{{v}_{1}′}=\sqrt{\frac{r}{R}}$．
（2）a球平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{1}=\sqrt{\frac{4R}{g}}$，b球平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{2}=\sqrt{\frac{4r}{g}}$，
則CD軌道的長(zhǎng)度為：L=v₁t₁+v₂t₂=2R+2r=2（R+r）．
答：（1）兩球?qū)�C、D兩點(diǎn)的壓力之比為$\sqrt{\frac{r}{R}}$；
（2）CD軌道的長(zhǎng)度為2（R+r）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律、動(dòng)量守恒定律的綜合運(yùn)用，涉及到圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)，綜合性較強(qiáng)，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及圓周運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)向心力的來(lái)源是解決本題的額關(guān)鍵．