Question

12．某種彈射裝置的示意圖如圖所示，光滑的水平導軌MN右端N處于傾斜傳送帶理想連接，傳送帶長度L=15.0m，皮帶以恒定速率v=5m/s順時針轉動，三個質量均為m=1.0kg的滑塊A、B、C置于水平導軌上，B、C之間有一段輕彈簧剛好處于原長，滑塊B與輕彈簧連接，C未連接彈簧，B、C處于靜止狀態(tài)且離N點足夠遠，現(xiàn)讓滑塊A以初速度v₀=6m/s沿B、C連線方向向B運動，A與B碰撞后粘合在一起．碰撞時間極短，滑塊C脫離彈簧后滑上傾角θ=37°的傳送帶，并從頂端沿傳送帶方向滑出斜拋落至地面上，已知滑塊C與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)μ=0.8，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）滑塊A、B碰撞時損失的機械能；
（2）滑塊C在傳送帶上因摩擦產生的熱量Q；
（3）若每次實驗開始時滑塊A的初速度v₀大小不相同，要使滑塊C滑離傳送帶后總能落至地面上的同一位置，則v₀的取值范圍是什么？（結果可用根號表示）

Answer 1

分析 （1）A、B碰撞過程水平方向的動量守恒，由此求出二者的共同速度；由功能關系即可求出損失的機械能；
（2）A、B碰撞后與C作用的過程中ABC組成的系統(tǒng)動量守恒，應用動量守恒定律與能量守恒定律可以求出C與AB分開后的速度，C在傳送帶上做勻加速直線運動，由牛頓第二定律求出加速度，然后應用勻變速直線運動規(guī)律求出C相對于傳送帶運動時的相對位移，由功能關系即可求出摩擦產生的熱量．
（3）應用動量守恒定律、能量守恒定律與運動學公式可以求出滑塊A的最大速度和最小速度．

解答 解：（1）A與B位于光滑的水平面上，系統(tǒng)在水平方向的動量守恒，設A與B碰撞后共同速度為v₁，選取向右為正方向，對A、B有：
mv₀=2mv₁…①
碰撞時損失機械能$△E=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}（2m）v_1^2$…②
解得△E=9J
（2）設A、B碰撞后，彈簧第一次恢復原長時AB的速度為v_B，C的速度為v_C．
由動量守恒：2mv₁=2mv_B+mv_C…③
由機械能守恒：$\frac{1}{2}（2m）v_1^2=\frac{1}{2}（2m）v_B^2+\frac{1}{2}mv_C^2$…④
解得：v_c=4m/s
C以v_c滑上傳送帶，假設勻加速的直線運動位移為S時與傳送帶共速，由運動學公有：
式${a}_{1}=μgcosθ-gsinθ=0.8×10×0.8-10×0.6=0.4m/{s}^{2}$
結合：${v^2}-{v_c}^2=2{a_1}x$，
聯(lián)立解得：x=11.25m＜L
加速運動的時間為t，有：$t=\frac{v-{v}_{C}}{{a}_{1}}=\frac{5-4}{0.4}=2.5s$…⑤
所以相對位移△x=vt-x
代入數(shù)據(jù)得：△x=1.25m…⑥
摩擦生熱Q=umgcosθ•△x=8J
（3）設A的最大速度為v_max，滑塊C與彈簧分離時C的速度為v_c1，AB的速度為v_B1，則C在傳送帶上一直做加速度為a₂的勻減速直線運動直到P點與傳送帶共速，有：${v^2}-{v_{c1}}^2=2{a_2}L$…⑦
加速度：${a_2}=-gsinθ-μgcosθ=-12.4m/{s^2}$
解得：${v_{c1}}=\sqrt{397}m/s$
設A的最小速度為v_min，滑塊C與彈簧分離時C的速度為v_C2，AB的速度為v_B1，則C在傳送帶上一直做加速度為a₁的勻加速直線運動直到P點與傳送帶共速，有：${v^2}-{v_{c2}}^2=2{a_1}L$…⑧
解得：${v_{c2}}=\sqrt{13}m/s$．
對A、B、C和彈簧組成的系統(tǒng)從AB碰撞后到彈簧第一次恢復原長的過程中，有：
mv_max=2mv_B1+mc_C1…⑨
機械能守恒：$\frac{1}{2}（2m）v_1^2=\frac{1}{2}（2m）v_{B1}^2+\frac{1}{2}mv_{C1}^2$…⑩
解得${v_{max}}=\frac{3}{2}{v_{c1}}=\frac{3}{2}\sqrt{397}m/s$，
同理，${v_{min}}=\frac{3}{2}\sqrt{13}m/s$
所以$\frac{3}{2}\sqrt{13}m/s≤{v_0}≤\frac{3}{2}\sqrt{397}m/s$
答：（1）滑塊A、B碰撞時損失的機械能是9J；
（2）滑塊C在傳送帶上因摩擦產生的熱量是8J；
（3）若每次實驗開始時滑塊A的初速度v₀大小不相同，要使滑塊C滑離傳送帶后總能落至地面上的同一位置，則v₀的取值范圍是$\frac{3}{2}\sqrt{13}m/s≤{v_0}≤\frac{3}{2}\sqrt{397}m/s$．

點評 本題著重考查碰撞中的動量守恒和能量守恒問題，同時借助傳送帶考查到物體在恒定摩擦力作用下的勻減速運動，還需用到平拋的基本知識，這是力學中的一道知識點比較多的綜合題，學生在所涉及的知識點中若存在相關知識缺陷．