Question

15．如圖所示，兩足夠長的平行光滑金屬導軌MN、PQ相距為L，導軌平面與水平面的夾角α=30°，導軌電阻不計．在導軌處有一足夠大的磁感應強度大小為B、方向垂直導軌平面斜向上的勻強磁場，長為L的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導軌上，且始終與導軌接觸良好，金屬棒的質量為m、電阻為R．兩金屬導軌的上端連接一電路，電路中R₂為一電阻箱，已知燈泡的電阻R_L=4R，定值電阻R₁=2R，調節(jié)電阻箱使R₂=12R，重力加速度為g，現將金屬棒由靜止釋放．

（1）求金屬棒下滑的最大速度v_m；
（2）當金屬棒下滑距離為s₀時速度恰達到最大，求金屬棒由靜止開始下滑2s₀的過程中，整個電路中產生的電熱．

Answer 1

分析 （1）閉合開關S，金屬棒由靜止釋放，沿斜面下滑切割磁感線，產生電動勢E=BLv，相當于電源給電路供電，隨著速度的增大電動勢增大，當速度達到最大值時，導體棒勻速運動，由受力平衡求出v_m．
（2）由動能定理和功能關系對棒下滑距離分別s₀和2s₀的情況列式，即可求出電熱．

解答 解：（1）當金屬棒勻速下滑時速度最大，達到最大時有：
mgsinα=F_安 ①
F_安=BIL ②
I=$\frac{BL{v}_{m}}{{R}_{總}}$ ③
其中　R_總=6R ④
聯立以上各式得金屬棒下滑的最大速度 v_m=$\frac{6mgRsinα}{{B}^{2}{L}^{2}}$ ⑤
（2）由動能定理，有 W_G-W_安=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
由于 W_G=2mgs₀ sinα，W_安=Q
解得Q=2mgs₀sinα-$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
將⑤代入上式可得 Q=2mgs₀sinα-$\frac{18{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}α}{{B}^{4}{L}^{4}}$
答：
（1）金屬棒下滑的最大速度v_m的大小是$\frac{6mgRsinα}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）金屬棒由靜止開始下滑2s₀的過程中，整個電路產生的電熱是2mgs₀sinα-$\frac{18{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}α}{{B}^{4}{L}^{4}}$

點評 本題考查了電路知識、電磁感應知識，要明確速度最大的條件，正確分析力與運動的關系、功與能的關系．