Question

9．如圖甲所示，足夠長(zhǎng)的人平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在同一水平面上，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，MP間連有電阻R，導(dǎo)軌上停放一質(zhì)量為m、電阻為r的金屬桿ab，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)，整個(gè)裝置處于豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，從0時(shí)刻起對(duì)ab施一水平向右的恒定拉力作用，t₂時(shí)刻ab達(dá)最大速度v₀，以后撤去拉力，ab桿向右運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖乙所示，圖中斜向虛線為過原點(diǎn)速度圖線的切線．已知ab桿與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，求：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）t₂時(shí)刻回路的電功率P；
（3）ab運(yùn)動(dòng)過程回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)t=0時(shí)刻圖象的斜率求加速度，由牛頓第二定律求得拉力．t₂時(shí)刻ab達(dá)最大速度v₀，此時(shí)ab棒受力平衡，由平衡條件求磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）由上題的結(jié)果求出感應(yīng)電流，再求回路的電功率P；或根據(jù)功能關(guān)系求解．
（3）根據(jù)牛頓第二定律和加速度的定義式，求出ab棒運(yùn)動(dòng)的總位移，再由能量守恒求焦耳熱．

解答 解：（1）t=0時(shí)刻ab棒的加速度 a=$\frac{{v}_{0}}{{t}_{1}}$
根據(jù)牛頓第二定律有 F-μmg=ma
t₂時(shí)刻ab達(dá)最大速度v₀，此時(shí)ab棒受力平衡，則有
  F=μmg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R+r}$
聯(lián)立以上三式解得 B=$\sqrt{\frac{m（R+r）}{{L}^{2}{t}_{1}}}$
（2）t₂時(shí)刻回路的電功率 P=（F-μmg）v₀=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{{t}_{1}}$
（3）對(duì)加速運(yùn)動(dòng)過程，有
   F-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=ma=m$\frac{△v}{△t}$
  （F-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$）△t=m△v
即（F-μmg）△t-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△x}{R+r}$=m△v
兩邊求和得：$\sum_{\;}^{\;}$（F-μmg）△t-$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△x}{R+r}$=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
可得 （F-μmg）t₂-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{1}}{R+r}$=mv₀，
得加速運(yùn)動(dòng)的位移 x₁=v₀（t₂-t₁）
同理得減速運(yùn)動(dòng)得-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=ma=m$\frac{△v}{△t}$
-μmg△t-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△x}{R+r}$=m△v
兩邊求和得：$\sum_{\;}^{\;}$（-μmg）△t-$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△x}{R+r}$=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
-μmg（t₃-t₂）-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{2}}{R+r}$=-mv₀，
得減速運(yùn)動(dòng)的位移 x₂=v₀t₁-μg（t₃-t₂）t₁．
根據(jù)能量守恒得：
回路中產(chǎn)生的焦耳熱 Q=F•x₁-μmg（x₁+x₂） 
聯(lián)立解得 Q=$\frac{m{v}_{0}^{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）}{{t}_{1}}$-μmgv₀（t₂-t₁）-μ²mg²（t₃-t₂）t₁．
答：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B是$\sqrt{\frac{m（R+r）}{{L}^{2}{t}_{1}}}$；
（2）t₂時(shí)刻回路的電功率P是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{{t}_{1}}$；
（3）ab運(yùn)動(dòng)過程回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q是$\frac{m{v}_{0}^{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）}{{t}_{1}}$-μmgv₀（t₂-t₁）-μ²mg²（t₃-t₂）t₁．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵根據(jù)牛頓第二定律和加速度的定義式，運(yùn)用積分法分析位移，要注意研究圖象斜率的意義，由電磁感應(yīng)與力學(xué)規(guī)律結(jié)合解答．