Question

15．用密度為d、電阻率為P粗細(xì)均勻的金屬導(dǎo)線制成兩個閉合正方形線框M和N．邊長均為L．線框M，N的導(dǎo)線橫截面積分別為S₁，S₂，S₁＞S₂，如圖所示．勻強(qiáng)磁場僅存在于相對磁極之間，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，其他地方的磁場忽略不計(jì)．金屬線框M水平放在磁場上邊界的狹縫間，線框平面與磁場方向平行，開始運(yùn)動時可認(rèn)為M的aa′邊和bb′位都處在磁場中．線框N在線框M的正上方，與線框M相距為h，兩線框均從靜止開始同時釋放，其平面在下落過程中保持水平，設(shè)磁場區(qū)域在豎直方向足夠長，不計(jì)空氣阻力及兩線框間的相互作用．

（1）求線框N剛進(jìn)入磁場時產(chǎn)生的感應(yīng)電流；
（2）在下落過程中，若線框N恰能追上線框M．追上時線框M下落高度為H，追上線框M之前線框N一直做減速運(yùn)動，求該過程中線框產(chǎn)生的焦耳熱：
（3）若將線框M，N均由磁場上邊界處先后釋放，釋放的時間間隔為t，計(jì)算兩線框在運(yùn)動過程中的最大距離．

Answer 1

分析 （1）由動能定理可求得線框進(jìn)入磁場時的速度，再由E=BLv及閉合電路歐姆定律、電阻定律列式，聯(lián)立可求得電流；
（2）線框勻速運(yùn)動時，重力和安培力平衡，由平衡關(guān)系可求得速度與導(dǎo)線截面積的關(guān)系；由功能關(guān)系可求得線框中產(chǎn)生的熱量；
（3）由受力分析及牛頓第二定律可求得物體的加速度，由加速度表達(dá)式可知何時距離最大，則可求得最大距離．

解答 解：（1）線框N進(jìn)入磁場前由動能定理得
mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²
剛進(jìn)入磁場時切割磁感線
E=2BLv
由閉合電路歐姆定律可得：
I_N=$\frac{E}{{R}_{N}}$
由電阻定律可得：
R_N=$ρ\frac{4L}{{S}_{2}}$
聯(lián)立以上可得：
I=$\frac{B{S}_{2}}{2ρ}$$\sqrt{2gh}$
（2）以線框M為研究對象，當(dāng)線框在磁場中運(yùn)動達(dá)到勻速時，設(shè)速度為v₂，
線框所受重力G=mg=4LSdg
安培力F=2BIL
勻速時受力平衡G=F
由以上各式可得v₂=$\frac{4dρg}{{B}^{2}}$
由上式可知勻速運(yùn)動速度與導(dǎo)線截面積無關(guān)，所以兩線框勻速運(yùn)動速度相同，均為v₂．
由此可知當(dāng)線框N恰好追上M時，兩者速度相等
根據(jù)功能關(guān)系可知Q=4LS₂dg（h+H）-$\frac{32L{S}_{2}h4gn5tw^{3}{ρ}^{2}{g}^{2}}{{B}^{4}}$
（3）線框釋放后二者先后作變速運(yùn)動
mg-F=ma；
即：4LSdg-$\frac{{B}^{2}LSv}{ρ}$=4LSda
解得：a=g-$\frac{{B}^{2}v}{4dρ}$
由加速度可知：線框下落的加速度與線框的導(dǎo)線截面積無關(guān)，兩個線框在磁場中先后作相同的加速運(yùn)動，最后勻速，當(dāng)二者都做勻速運(yùn)動時，間距最大
此時最大間距△x=v₂t=$\frac{4dρgt}{{B}^{2}}$
答：（1）線框N剛進(jìn)入磁場時產(chǎn)生的感應(yīng)電流$\frac{B{S}_{2}}{2ρ}$$\sqrt{2gh}$；
（2）在下落過程中，若線框N恰能追上線框M．追上時線框材下落高度為H，追上線框M之前線框N一直做減速運(yùn)動，該過程中線框產(chǎn)生的焦耳熱為4LS₂d（h+H）-$\frac{32L{S}_{2}fdxg26y^{3}{ρ}^{2}{g}^{2}}{{B}^{4}}$：
（3）若將線框M，N均由磁場上邊界處先后釋放，釋放的時間間隔為t，計(jì)算兩線框在運(yùn)動過程中的最大距離$\frac{4dρgt}{{B}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查電磁感應(yīng)與力學(xué)以及能量的綜合，掌握切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式、閉合電路歐姆定律等知識，知道當(dāng)重力等于安培力時，速度最大．