Question

11．一行星與地球運(yùn)動(dòng)情況相似，此行星的平均密度為ρ，若彈簧秤在其赤道上比兩極處測(cè)同一物體的重力時(shí)讀數(shù)小了10%，則行星的一晝夜為多少小時(shí)？

Answer 1

分析 設(shè)此行星上一晝夜的時(shí)間是t，故其自轉(zhuǎn)周期為t；在行星的赤道處用彈簧秤測(cè)量物體的重力的讀數(shù)比在兩極時(shí)測(cè)量的讀數(shù)小10%，對(duì)赤道物體物體受到的萬(wàn)有引力和重力的合力提供向心力列式，兩極位置根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力列式；最后聯(lián)立求解．

解答 解：設(shè)行星上一晝夜的時(shí)間是T，即行星的自轉(zhuǎn)周期T；
彈簧稱在赤道和兩極的讀數(shù)分別為F₁、F₂
在赤道上，G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-F₁=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
在兩極上，G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-F₂=0
又F₂-F₁=10% F₂
則m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R=10%G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得：$\frac{M}{{R}^{3}}$=$\frac{40{π}^{2}}{G{T}^{2}}$①
而ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3M}{4π{R}^{3}}$②
①②聯(lián)立解得T=$\sqrt{\frac{30π}{Gρ}}$
答：則行星的一晝夜為T(mén)=$\sqrt{\frac{30π}{Gρ}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵明確物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后結(jié)合萬(wàn)有引力定律提供向心力列式后聯(lián)立求解．