Question

20．進入21世紀(jì)，低碳環(huán)保、注重新能源的開發(fā)與利用的理念，已經(jīng)日益融入生產(chǎn)、生活之中．某節(jié)水噴灌系統(tǒng)如圖所示，噴口距地面的高度h=1.8m，能沿水平方向旋轉(zhuǎn)，噴口離轉(zhuǎn)動中心的距離a=1.0m水可沿水平方向噴出，噴水的最大速率v₀=10m/s，每秒噴出水的質(zhì)量m₀=7.0kg．所用的水是從井下抽取的，井中水面離地面的高度H=3.2m，并一直保持不變．水泵由電動機帶動，電動機電樞線圈電阻r=5.0Ω．電動機正常工作時，電動機的輸入電壓U=220V，輸入電流I=4.0A．不計電動機的摩擦損耗，電動機的輸出功率等于水泵所需要的最大輸入功率．水泵的輸出功率與輸入功率之比稱為水泵的抽水效率．（計算時π取3，球體表面積公式S=4πr²）試求：
（1）求這個噴灌系統(tǒng)所能噴灌的最大面積S；
（2）假設(shè)系統(tǒng)總是以最大噴水速度工作，求水泵的抽水效率η；
（3）假設(shè)系統(tǒng)總是以最大噴水速度工作，在某地區(qū)將太陽能電池產(chǎn)生的電能直接供該系統(tǒng)使用，根據(jù)以下數(shù)據(jù)求所需太陽能電池板的最小面積S_min．
（已知：太陽光傳播到達地面的過程中大約有30%的能量損耗，太陽輻射的總功率P₀=4×10²⁶W，太陽到地球的距離R=1.5×10¹¹m，太陽能電池的能量轉(zhuǎn)化效率約為15%．）

Answer 1

分析 （1）水從噴口噴出后做平拋運動，已知高度h和最大的初速度v₀，由平拋運動的規(guī)律求出最大的水平位移．噴灌系統(tǒng)所能噴灌的區(qū)域是圓形，即求出面積；
（2）水泵的抽水效率η等于水泵的輸出功率與輸入功率之比．水泵的輸入功率等于電動機的輸出功率，水泵的輸出功率使水獲得機械能的功率．
（3）設(shè)電池板最小面積S_min，接收太陽能的功率：$P=\frac{P_0}{{4π{R^2}}}×70%×{S_{min}}$，電池板接收太陽能轉(zhuǎn)化為電能的功率，根據(jù)能量守恒列式求解太陽能電池板的最小面積s_min．

解答 解：（1）水從噴口噴出后做平拋運動，下落高度$h=\frac{1}{2}g{t^2}$
最大噴灌圓面半徑x=a+v₀t=7m
噴灌最大面積S=πx²-πa²=144m²
（2）電動機的輸入功率P_電=UI=220×4.0W=880W
電動機的熱功率${P_熱}={I^2}r={4.0^2}×5.0W=80W$
水泵的輸入功率等于電動機的輸出功率P_入=P_電-P_熱=800W
水泵的輸出功率${P}_{出}=\frac{\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mg（H+h）}{t}$
其中m=m₀t求得P_出=700W
水泵效率$η=\frac{P_出}{P_入}×100%=87.5%$
（3）電池板最小面積S_min接收太陽能的功率：$P=\frac{P_0}{{4π{R^2}}}×70%×{S_{min}}$
電池板接收太陽能轉(zhuǎn)化為電能的功率：P_電=UI=P×15%
聯(lián)立以上二式得：${S_{min}}≈5.7{m^2}$
（說明：直接由$\frac{P_0}{{4π{R^2}}}×70%×{S_{min}}×15%=UI$，代入數(shù)據(jù)得${S_{min}}≈5.7{m^2}$；若π取3.14，則${S_{min}}≈5.9{m^2}$，同樣正確）
答：（1）這個噴灌系統(tǒng)所能噴灌的最大面積是144m²；
（2）假設(shè)系統(tǒng)總是以最大噴水速度工作，水泵的抽水效率是87.5%；
（3）假設(shè)系統(tǒng)總是以最大噴水速度工作，在某地區(qū)將太陽能電池產(chǎn)生的電能直接供該系統(tǒng)使用，根據(jù)以下數(shù)據(jù)求所需太陽能電池板的最小面積是5.7m²．

點評 本題運用平拋運動和能量守恒定律分析和解決實際問題，抓住能量是如何轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．