Question

8．如圖所示．水平放置的平行金屬板A和B的間距為d、極板長為2d；金屬板右側(cè)有三塊擋板MN、NP、PM圍成一個等腰直角三角形區(qū)域，頂角∠NMP為直角．MN擋板上的中點處，有一個小孔K恰好位于B板右端點，已知水平擋板NP的長度為2$\sqrt{2}$a．由質(zhì)量為m、帶電量為+q的同種粒子組成的粒子束，以速度v₀從金屬板A、B左端緊貼A板射入，不計粒子所受的重力，若在A、B板間加一恒定電壓U，使粒子穿過電場后恰好能從小孔K進入三角形區(qū)域，將AB間視為勻強電場．求：
（1）恒定電壓U的大小；
（2）現(xiàn)在三角形區(qū)域內(nèi)加一垂直紙面的勻強磁場．要使從小孔K飛入的粒子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后能直接（不與其他擋板碰撞）打到擋板MP上，求所加磁場的方向和磁感應強度大小的變化范圍；
（3）以M為原點，沿MP方向建立x軸，求打到擋板MP上不同位置（用坐標x表示）的粒子在磁場中的運動時間（注：若sinα=x，則α=arcsinx）．

Answer 1

分析 （1）由題意可分析出帶電粒子在兩金屬板間豎直方向的位移為d，水平方向的位移為2d，水平方向上做勻速直線運動，豎直方向上做自由落體運動，運用類平拋運動的知識可求出所施加的恒定電壓．
（2）根據(jù)題意，首先運用速度的合成求出帶電粒子進入三角形區(qū)域時的速度，由偏轉(zhuǎn)方向和左手定則可得知磁場的方向；再找出兩個臨界半徑，一是帶電粒子偏轉(zhuǎn)軌道與NP相切時的軌道半徑，二是正好達到M點時的軌道半徑，從而確定軌道半徑的范圍，由帶電粒子在磁場中受到的洛倫茲力提供向心力公式，即可求出所加磁場的磁感應強度范圍．
（3）由射入磁場時的速度方向和達到MP時的速度方向確定圓心，由幾何關(guān)系找出半徑R與x的關(guān)系式，以及在磁場中運動的偏轉(zhuǎn)角，再通過運動時間、偏轉(zhuǎn)角和周期T的關(guān)系求解時間．

解答 解：（1）帶電粒子在AB間做類平拋運動，則有：
 2d=v₀t…①
  d=$\frac{1}{2}•\frac{qU}{md}{t}^{2}$…②
由①②聯(lián)立得：U=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$…③
（2）設粒子在進入K時，豎直方向的分速度為v_y，則有：
  v_y=at=$\frac{qU}{md}$•$\frac{2d}{{v}_{0}}$=v₀…④
 tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1
得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}{v}_{0}$…⑤
可知當θ=45°時，即粒子垂直MN板射入磁場時，要使粒子直接打到MP板上，根據(jù)左手定則，可知所加磁場的方向垂直紙面向內(nèi)．如圖所示，當粒子進入磁場后做勻速圓周運動，偏轉(zhuǎn)半徑最大時恰好與NP相切；偏轉(zhuǎn)半徑最小時，KM為運動圓周的直徑，設最大半徑為R_M，則由幾何關(guān)系可知，△NMP與△NQO₁相似，則有：
  $\frac{a+{R}_{m}}{2\sqrt{2}a}$=$\frac{{R}_{m}}{2a}$
得：R_m=（$\sqrt{2}$+1）a…⑥
因此，粒子做圓周運動的半徑范圍為：$\frac{a}{2}$＜R＜（$\sqrt{2}$+1）a …⑦
由于粒子在磁場中做圓周運動，故洛倫茲力提供向心力，即：
 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑧
聯(lián)立⑤⑥⑦⑧式可得所加磁場的磁感應強度范圍為：$\frac{（2-\sqrt{2}）m{v}_{0}}{qa}$＜B＜$\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}}{qa}$…⑨
（3）設粒子打到MP時，坐標為x，設偏轉(zhuǎn)角為α，則由幾何關(guān)系可得：
 （R-a）²+x²=R²，sin α=$\frac{x}{R}$…⑩
對應粒子在磁場中的運動時間為：t=$\frac{αR}{v}$T…（11）
由⑧⑩（11）三式可得：t=$\frac{{（x}^{2}+{a}^{2}）arcsin\frac{2ax}{{x}^{2}+{a}^{2}}}{2\sqrt{2}a{v}_{0}}$…（12）
答：（1）恒定電壓U的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$；
（2）所加磁場的方向為垂直紙面向內(nèi)，磁感應強度大小的變化范圍為：$\frac{（2-\sqrt{2}）m{v}_{0}}{qa}$＜B＜$\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}}{qa}$．
（3）打到擋板MP上不同位置（用坐標x表示）的粒子在磁場中的運動時間為$\frac{{（x}^{2}+{a}^{2}）arcsin\frac{2ax}{{x}^{2}+{a}^{2}}}{2\sqrt{2}a{v}_{0}}$．

點評 帶電粒子在電場中的運動，綜合了靜電場和力學的知識，分析方法和力學的分析方法基本相同．先分析受力情況再分析運動狀態(tài)和運動過程（平衡、加速、減速，直線或曲線），然后選用恰當?shù)囊?guī)律解題．解決這類問題的基本方法有兩種，第一種利用力和運動的觀點，選用牛頓第二定律和運動學公式求解；第二種利用能量轉(zhuǎn)化的觀點，選用動能定理和功能關(guān)系求解．