Question

6．已知河寬d=100m，水流速度為v₁=4m/s，船在靜水中的速度是v₂=3m/s．求：
（1）欲使船渡河時(shí)間最短，應(yīng)怎樣渡河？最短時(shí)間是多少？船經(jīng)過的位移是多大？
（2）欲使船航行距離最短，船應(yīng)怎樣渡河，渡河時(shí)間是多長？

Answer 1

分析 船航行時(shí)速度為靜水中的速度與河水流速二者合速度，當(dāng)以靜水中的速度垂直河岸過河的時(shí)候渡河時(shí)間最短．
因?yàn)樗�流速度大于靜水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，則小船不可能到達(dá)正對(duì)岸，則當(dāng)合速度垂直靜水速度時(shí)，位移最短．

解答 解：（1）當(dāng)靜水速的方向與河岸垂直時(shí)，渡河時(shí)間最短，最短時(shí)間t=$\fracnblvdn5{{v}_{c}}$=$\frac{100}{3}$=33.3s；
船在水流方向的位移s=v₁t=4×$\frac{100}{3}$=$\frac{400}{3}$m；
那么船經(jīng)過的位移是x=$\sqrt{10{0}^{2}+（\frac{400}{3}）^{2}}$=$\frac{500}{3}$m；
（2）因?yàn)樗�流速度大于靜水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，則小船不可能到達(dá)正對(duì)岸．當(dāng)合速度的方向與靜水速的方向垂直時(shí)，合速度的方向與河岸的夾角最短，渡河航程最�。�
設(shè)此時(shí)靜水速的方向與河岸的夾角為θ，cosθ=$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$=$\frac{3}{4}$．
根據(jù)幾何關(guān)系，則有：$\fracttbxx7z{s}$=$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$，因此最短的航程是s=$\frac{4}{3}$d=$\frac{4}{3}×100$ m=133.3m．
渡河時(shí)間是t=$\frac{s}{{v}_{合}}$=$\frac{\frac{400}{3}}{\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}}$=$\frac{400}{21}\sqrt{7}$s；
答：（1）欲使船渡河時(shí)間最短，應(yīng)垂直渡河，最短時(shí)間33.3s，船經(jīng)過的位移是$\frac{500}{3}m$；
（2）欲使船航行距離最短，船與上游夾角的余弦值為$\frac{3}{4}$渡河，渡河時(shí)間是$\frac{400}{21}\sqrt{7}$s．

點(diǎn)評(píng) 小船過河問題屬于運(yùn)動(dòng)的合成問題，要明確分運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性、獨(dú)立性，運(yùn)用分解的思想，看過河時(shí)間只分析垂直河岸的速度，分析過河位移時(shí)，要分析合速度．