Question

10．如圖所示，有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m=1kg的小物塊，從光滑平臺(tái)上的A點(diǎn)以v₀=2m/s的初速度水平拋出，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，恰好沿C點(diǎn)的切線方向進(jìn)入固定在水平地面上的光滑圓弧軌道，最后小物塊滑上緊靠軌道末端D點(diǎn)的質(zhì)量為M=3kg的長木板，已知木板上表面與圓弧軌道末端切線相平，木板下表面與水平地面之間光滑，小物塊與長木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，圓弧軌道的半徑為R=0.4m，C點(diǎn)和圓弧的圓心連線與豎直方向的夾角θ=60°，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²．求：
（1）小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端D點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力；
（2）若長木板長度L=2.4m，小物塊能否滑出長木板？

Answer 1

分析 （1）小物塊從A點(diǎn)拋出做平拋運(yùn)動(dòng)，將C點(diǎn)的速度進(jìn)行分解，求出物塊到達(dá)C點(diǎn)的速度，對C到D的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求出物塊到達(dá)D點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出物塊對軌道的壓力．
（2）當(dāng)小物塊剛好不從長木板滑出時(shí)，與木板具有相同的速度，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出共同的速度，因?yàn)槟Σ亮εc相對路程的乘積等于產(chǎn)生的熱量，結(jié)合能量守恒定律求出木板的最小長度，從而作出判斷．

解答 解：（1）物塊到達(dá)C點(diǎn)的速度與水平方向的夾角為60°，根據(jù)平行四邊形定則知：
  v_C=$\frac{{v}_{0}}{cos60°}$=2v₀=4m/s
小物塊由C到D的過程中，由動(dòng)能定理得：mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v_D=2$\sqrt{5}$m/s
小球在D點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：N=60N     
由牛頓第三定律得：N′=N=60N，方向豎直向下    
（2）設(shè)小物塊始終在長木板上，當(dāng)達(dá)到共同速度時(shí)大小為v，
小物塊在木板上滑行的過程中，取向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得
   mv₀=（M+m）v
解得：v=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m/s
設(shè)物塊在木板相對位移l，由功能關(guān)系得 μmgl=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}（m+M）{v}^{2}$
解得：l=2.5m＞L=2.4m
所以小物塊滑出長木板．
答：
（1）小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端D點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小為60N，方向豎直向下；
（2）若長木板長度L=2.4m，小物塊能滑出長木板．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵是要理清物塊的運(yùn)動(dòng)過程，把握每個(gè)過程之間的聯(lián)系，如速度關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)囊?guī)律進(jìn)行研究．要注意摩擦生熱與相對位移有關(guān)．