Question

16．宇宙中有一個半徑為R、自轉(zhuǎn)周期為T的星球，在距該星球表面高為h（h《R）處從靜止開始釋放-小球，不計阻力，小球落到該星球表面時的速度大小為V，己知萬有引力常量為G，求：
（1）該星球表面的重力加速度g；
（2）該星球的質(zhì)量M：
（3）該星球的同步衛(wèi)星的高度h’．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運動規(guī)律求出星球表面的重力加速度；
（2）利用重力等于萬有引力求出星球質(zhì)量．
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力求解星球的同步衛(wèi)星的高度．

解答 解：（1）根據(jù)自由落體運動的規(guī)律有：V²=2gh
解得：$g=\frac{{V}^{2}}{2h}$
（2）根據(jù)星球表面物體重力等于萬有引力有：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$M=\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{{V}^{2}{R}^{2}}{2Gh}$
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力有：$\frac{GMm}{（R+h′）}=\frac{m•4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h′）$
所以：h′=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
將M代入得：h′=$\root{3}{\frac{{V}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{8{π}^{2}Gh}}-R$
答：（1）這顆星球表面的重力加速度$\frac{{V}^{2}}{2h}$；
（2）這顆星球的質(zhì)量$\frac{{V}^{2}{R}^{2}}{2Gh}$；
（3）若星球的自轉(zhuǎn)周期為T，這顆星球同步衛(wèi)星的高度是$\root{3}{\frac{{V}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{8{π}^{2}Gh}}-R$．

點評 解決本題的基本思路萬有引力提供向心力，在星球表面任意物體的重力等于該星球?qū)ξ矬w的萬有引力．