Question

3．如圖所示，豎直平面內(nèi)有一軌道由半徑為R的光滑半圓弧ABC部分和水平足夠長(zhǎng)的粗糙部分組成，一質(zhì)量為m的小圓環(huán)套下軌道上運(yùn)動(dòng)，與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，且小圓環(huán)在軌道上受到水平向左、大小不變的恒力作用，離開軌道恒力即消失．已知圓環(huán)從圓弧最高點(diǎn)A有靜止釋放后，最遠(yuǎn)能運(yùn)動(dòng)到水平軌道上距離C點(diǎn)R的P₁位置．求（重力加速度g）
（1）水平恒力的大小F；
（2）若將小環(huán)從水平軌道上P₂處由靜止釋放，小環(huán)剛好能運(yùn)動(dòng)到圓弧最高點(diǎn)A，則小環(huán)運(yùn)動(dòng)到圓心等高的B點(diǎn)時(shí)受軌道作用的彈力多大．
（3）若如圖虛線所示，在A點(diǎn)右側(cè)放置寬和高均為$\frac{R}{2}$的四級(jí)臺(tái)階，欲使小環(huán)從水平軌道上P₃處由靜止釋放，要求小環(huán)離開A點(diǎn)后，剛好能落在第三級(jí)臺(tái)階上，則P₃應(yīng)距C點(diǎn)多遠(yuǎn)范圍內(nèi)釋放？

Answer 1

分析 （1）對(duì)A到P₁位置的過程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出水平恒力F的大小．
（2）對(duì)P₂處到最高點(diǎn)的過程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出P₂處距離C點(diǎn)的距離，再對(duì)P₂處到圓心等高點(diǎn)B運(yùn)用動(dòng)能定理，求出B點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出彈力的大�。�
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出最高點(diǎn)拋出的初速度范圍，再結(jié)合動(dòng)能定理求出P₃應(yīng)距C點(diǎn)的距離范圍．

解答 解：（1）從A到P₁位置運(yùn)用動(dòng)能定理得：mg2R-FR-μmgR=0，
代入數(shù)據(jù)解得：F=1.5mg．
（2）小環(huán)從水平軌道上P₂處由靜止釋放，小環(huán)剛好能運(yùn)動(dòng)到圓弧最高點(diǎn)A，即到達(dá)A點(diǎn)的速度為零．根據(jù)動(dòng)能定理得：
Fx-mg•2R-μmgx=0，
解得：x=2R，
小環(huán)運(yùn)動(dòng)到圓心等高的B點(diǎn)過程運(yùn)用動(dòng)能定理得：$Fx-mgR-μmgx=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
根據(jù)牛頓第二定律得：N=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
聯(lián)立解得：N=2mg．
（3）小環(huán)離開A點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)$tan45°=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{gt}{2{v}_{0}}$，解得：t=$\frac{2{v}_{0}}{g}$，
要求小環(huán)離開A點(diǎn)后，剛好能落在第三級(jí)臺(tái)階上，則有：$2×\frac{R}{2}＜{v}_{0}t＜3×\frac{R}{2}$，
解得：$\sqrt{\frac{gR}{2}}＜v＜\sqrt{\frac{3gR}{4}}$，
從P₃到A點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能定理得：$Fx′-μmgx′-mg2R=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-0$，
解得：$\frac{9R}{4}＜x′＜\frac{19R}{8}$．
答：（1）水平恒力的大小F為1.5mg．
（2）小環(huán)運(yùn)動(dòng)到圓心等高的B點(diǎn)時(shí)受軌道作用的彈力為2mg．
（3）P₃應(yīng)距C點(diǎn)的范圍為$\frac{9R}{4}＜x′＜\frac{19R}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理與牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，涉及到圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．