Question

14．如圖所示，虛線圓的半徑為R，AC為光滑豎直軒，AB 與BC構(gòu)成直角的L形軌道，小球與AB、BC，軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，ABC三點(diǎn)正好是圓上三點(diǎn)，而AC正好為該圓的直徑，AB與AC的夾角為α，如果套在AC桿上的小球自A點(diǎn)靜止釋放，分別沿ABC軌道和AC直軌道運(yùn)動(dòng)，忽略小球滑過B處時(shí)能量損耗．求：
（1）小球在AB軌道上運(yùn)動(dòng)的加速度；
（2）小球沿ABC軌道運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速率；
（3）若AB、BC、AC軌道均光滑，如果沿ABC軌道運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間與沿AC直軌道運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間之比為5：3，求α角的正切值．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求小球在AB軌道上運(yùn)動(dòng)的加速度；
（2）小球沿ABC軌道運(yùn)動(dòng)，從A到C，由動(dòng)能定理列式，可求出小球運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速率．
（3）小球沿AC直導(dǎo)軌做自由落體運(yùn)動(dòng)，由位移公式求得時(shí)間．ABC段，先求出B點(diǎn)的速度，根據(jù)AB段和AC段時(shí)間相等，得到BC段時(shí)間，依據(jù)時(shí)間關(guān)系求解．

解答 解：（1）從A到B，由牛頓第二定律得：
mgcosα-μmgsinα=ma
解得：a=gcosα-μgsinα
（2）小球沿ABC軌道運(yùn)動(dòng)，從A到C，由動(dòng)能定理可得：
$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=mg•2R-2μmg•2Rcosαsinα
解得：v_C=2$\sqrt{gR-μgRsin2α}$
（3）設(shè)小球沿AC直導(dǎo)軌做自由落體運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則有：
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
軌道均光滑，小球由A到B機(jī)械能守恒，設(shè)B點(diǎn)的速度為v_B，則有：
mg•2R•cos²α=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：v_B=2$\sqrt{gR}$cosα
且依等時(shí)圓，t_AB=t，則B到C的時(shí)間為：t_BC=$\frac{5}{3}$t-t=$\frac{2}{3}$t=$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{R}{g}}$
以后沿BC直導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的加速度為：a′=gsinα，
且BC=2Rsinα
故2Rsinα=v_Bt_BC+$\frac{1}{2}a′{t}_{BC}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：tanα=2.4
答：（1）小球在AB軌道上運(yùn)動(dòng)的加速度是gcosα-μgsinα；
（2）小球沿ABC軌道運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速率是2$\sqrt{gR}$cosα；
（3）α角的正切值是2.4．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵是能正確對ABC進(jìn)行受力和運(yùn)動(dòng)分析，把運(yùn)動(dòng)的時(shí)間正確表示；可視為多過程的運(yùn)動(dòng)分析，一定明確前后過程的銜接物理量．