Question

7．如圖所示，地面上有一固定的球面，球半徑為R，球面的斜上方P處有一質(zhì)點(diǎn)（P與球心O在同一豎直平面內(nèi)）．已知P到球心O的距離為L(zhǎng)，P到地面的垂直距離為H，現(xiàn)要使此質(zhì)點(diǎn)從靜止開(kāi)始沿一光滑斜直軌道在最短時(shí)間內(nèi)滑到球面上，求所需的最短時(shí)間．

Answer 1

分析 先求證小球從豎直平面的圓頂點(diǎn)沿光滑軌道運(yùn)動(dòng)到任何方向圓外邊緣的時(shí)間相同，且求出關(guān)系式；作圖找出最短時(shí)間的運(yùn)動(dòng)軌道，根據(jù)三角關(guān)系求出相關(guān)的物理量，求出最短時(shí)間．

解答 解：（1）求證：如圖所示小球從豎直平面的半徑為R′的圓的頂點(diǎn)，沿光滑軌道運(yùn)動(dòng)到任何方向圓外邊緣，

任取一條軌道PQ，PQ與水平面的夾角為Φ，
由三角關(guān)系得PQ的長(zhǎng)度為：l=2R′sinΦ
由牛頓第二定律得，沿光滑斜面下滑的加速度為：a=gsinΦ
由位移時(shí)間公式得，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\sqrt{\frac{2l}{a}}=\sqrt{\frac{2×2R′sinΦ}{gsinΦ}}=2\sqrt{\frac{R′}{g}}$
即運(yùn)動(dòng)時(shí)間與角度無(wú)關(guān)，故對(duì)應(yīng)任何軌道的時(shí)間均相同．
（2）作圖：以P為頂點(diǎn)作一半徑為r的球面，使其與所給球面相切與Q，如圖所示：

由（1）可知右上圓內(nèi)從P點(diǎn)到圓的外邊緣的時(shí)間是相同的，故PQ₁、PQ₂用時(shí)均長(zhǎng)于PQ用時(shí)，
則線段PQ即為所求的用時(shí)最短的軌道．
（3）解題：把上圖轉(zhuǎn)化如下：

∠OPO′=α，
由三角關(guān)系得：cosα=$\frac{\overline{PC}}{\overline{OP}}=\frac{H-R}{L}$
（R+r）²=L²+r²-2Lrcosα
聯(lián)立以上兩式解得：$r=\frac{{L}^{2}-{R}^{2}}{2H}$
由（1）知，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t}_{min}=2\sqrt{\frac{r}{g}}=2\sqrt{\frac{\frac{{L}^{2}-{R}^{2}}{2H}}{g}}=\sqrt{\frac{2（{L}^{2}-{R}^{2}）}{Hg}}$
答：所需的最短時(shí)間為$\sqrt{\frac{2（{L}^{2}-{R}^{2}）}{Hg}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題很難，需要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和物理知識(shí)，對(duì)于作圖要求較高，需要準(zhǔn)確掌握三角形相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)．