Question

10．如圖所示，豎直平面內的兩個半圓軌道在B點平滑連接，兩個半圓的圓心O₁、O₂在同一水平線上，粗糙的小半圓半徑為R，光滑的大半圓半徑為2R，一質量為m的滑塊（可視為質點）從大的半圓一端A點以一定的初速度向上沿著半圓內壁運動，且剛好能通過大半圓的最高點，最后滑塊從小半圓的左端沖出軌道，剛好能到達大半圓的最高點，已知重力加速度為g，則（　�。�

• A． 滑塊在A點的初速度為$\sqrt{6gR}$
• B． 滑塊在A點時對半圓軌道的壓力為6mg
• C． 滑塊第一次通過小半圓過程克服摩擦里做的功為mgR
• D． 滑塊到達大半圓的最高點返回后經O₁再次通過小半圓到達B點時的速度為$\sqrt{2gR}$

Answer 1

分析 滑塊恰好能通過大半圓的最高點，由重力提供向心力，由牛頓第二定律可求在在半圓最高點的速度，再由機械能守恒定律可求滑塊在A的初速度；由牛頓第二、第三定律可求滑塊在B點對小半圓的壓力；根據(jù)動能定理求摩擦力做的功和分析正壓力的變化情況，在分析摩擦力做功的變化情況．

解答 解：A、滑塊剛好通過大圓最高點，重力提供向心力，由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{2R}$
從A到大圓最高點過程，由動能定理得：-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv_A²
解得：v_A=$\sqrt{6gR}$，故A正確；
B、滑塊在A點時，由牛頓第二定律得：N=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{2R}$，解得：N=3mg，由牛頓第三定律可知，滑塊對半圓軌道的壓力：N′=N=3mg，故B錯誤；
C、滑塊從小半圓的左端沖出軌道，剛好能到達大半圓的最高點，由動能定理得：-mg•2R=0-$\frac{1}{2}$mv′²
滑塊第一次在小半圓軌道運動過程，由動能定理得：-W_f=$\frac{1}{2}$mv′²-$\frac{1}{2}$mv_A²
解得：W_f=mgR，v′=2$\sqrt{gR}$，滑塊克服摩擦力做功為mgR，故C正確；
D、滑塊第一次在小半圓上運動時的初速度為：$\sqrt{6gR}$，滑塊到達大半圓的最高點返回后經過O₁時的速度為：2$\sqrt{gR}$，滑塊經過小半圓同樣高度的點時速度不同、對小半圓的壓力不同，滑塊受到的摩擦力不同，而滑塊運動的路程相同，因此滑塊第二次經過小半圓時克服摩擦力做功小于第一次經過小半圓時克服摩擦力做功：mgR，由動能定理可知，滑塊到達大半圓的最高點返回后經O₁再次通過小半圓到達B點時的速度大于$\sqrt{2gR}$，故D錯誤；
故選：AC．

點評 本題考查了動能定理的應用，解決本題的關鍵知道在最高點的臨界情況：重力等于向心力，運用牛頓第二定律和機械能守恒進行求解．要注意滑動摩擦力與正壓力的大小成正比．