Question

13．如圖甲所示，在平行邊界MN、PQ之間，存在寬度為l方向平行紙面且與邊界垂直的變化電場，其電場隨時間變化的關(guān)系如圖乙所示，MN、PQ兩側(cè)足夠大區(qū)域內(nèi)有方向垂直紙面向外、大小相同的勻強磁場．一重力不計的帶電粒子，從t=0時自邊界PQ上某點由靜止第一次經(jīng)電場加速后，以速度v₁垂直邊界MN第一次射入磁場中作勻速圓周運動．接著第二次進(jìn)入電場中做勻加速運動，然后垂直邊界PQ第二次進(jìn)入磁場中運動，伺候粒子在電場和磁場這交替運動．已知粒子在磁場中運動時，電場區(qū)域的場強為零．求：

（1）粒子第一次與第三次在磁場中運動的半徑之比；
（2）粒子第n次經(jīng)過電場所用的時間．

Answer 1

分析 （1）粒子從PQ邊界上的某點釋放后，進(jìn)入電場做勻加速直線運動，由動能定理可以求出粒子右邊磁場的速度，由洛侖茲力提供向心力可以表示出粒子做勻速圓周運動的半徑．同理第三次進(jìn)入磁場是經(jīng)過電場三次加速后，可以把三次電場力做功表示在一起，求出速度，再表示出半徑．
（2）由上一問的結(jié)論，粒子經(jīng)過n次加速后的初末速度能夠求出，而位移就是寬度l，所以由運動學(xué)公式就能求出時間．

解答 解：（1）設(shè)粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，第一次和第三次在磁場中運動的半徑分別為r₁、r₃，
  第二次出電場時的速度為v₂，第三次出電場時的速度為v₃．粒子第一、二、三次在電場中的運動，
  由動能定理得
  E₁ql=$\frac{1}{2}$mv₁²               ①
  E₁ql+E₂ql=$\frac{1}{2}$mv₂²        ②
  E₁ql+E₂ql+E₃ql=$\frac{1}{2}$mv₃²    ③
  由圖乙得
   E₁：E₂：E₃=1：3：5       ④
 由①②③④得
    v₁：v₂：v₃=1：2：3       ⑤
 粒子在磁場中的運動由牛頓第二定律得
   qv₁B=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$；  qv₃B=m$\frac{{{v}_{3}}^{2}}{{r}_{3}}$    ⑥
 聯(lián)立以上各式解得
  r₁：r₃=1：3              
（2）粒子第n次進(jìn)入電場時的速度為v_n-1，出電場時的速度為v_n，加速度為a_n，運動時間為t_n．
 由⑤類推得
   v_n=n v₁；v_n-1=（n-1）v₁        ⑦
 由運動學(xué)公式$l=\frac{{{v_{n-1}}+{v_n}}}{2}{t_n}$      ⑧
 聯(lián)立⑦⑧解得
   t_n=$\frac{2l}{（2n-1）{v}_{1}}$
答：（1）粒子第一次與第三次在磁場中運動的半徑之比為1：3．
（2）粒子第n次經(jīng)過電場所用的時間為$\frac{2l}{（2n-1）{v}_{1}}$．

點評 看似復(fù)雜的題目，帶電粒子先在勻強電場中加速，后進(jìn)入勻強磁場轉(zhuǎn)半周再次進(jìn)入增大的勻強電場加速，如此循環(huán)…但由于題目不涉及時間問題（圖象中的橫坐標(biāo)未標(biāo)注）只是求半徑之比及經(jīng)過n次加速在電場中運動時間，考察的知識點較簡單，涉及的只是洛侖茲力提供向心力以及運動學(xué)公式問題．