Question

9．如圖所示，一質(zhì)量為m的小球置于半徑為R的光滑豎直圓軌道最低點A處，B為軌道最高點，C、D為圓的水平直徑兩端點．輕質(zhì)彈簧的一端固定在圓心O點，另一端與小球栓接，已知彈簧的勁度系數(shù)為k=$\frac{mg}{R}$，原長為L=2R，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，若給小球一水平初速度v₀，已知重力加速度為g，下列說法錯誤的是（　�。�

• A． 只要小球能做完整的圓周運動，則小球與軌道間最大壓力與最小壓力之差與v₀無關(guān)
• B． 速度只要滿足$\sqrt{2gR}$＜v₀＜$\sqrt{5gR}$，則小球會在B、D間脫離圓軌道
• C． 只要v₀＞$\sqrt{4gR}$，小球就能做完整的圓周運動
• D． 無論v₀多大，小球均不會離開圓軌道

Answer 1

分析 AB、在軌道的任意位置對小球受力分析，比較彈簧的彈力于重力在半徑方向上的分力的大小，即可得知選項AB的正誤．
C、利用機械能守恒定律可解的小球做圓周運動時在最低點的速度，由此可判知選項C的正誤．
D、根據(jù)向心力的公式分別列出在最高點和最低點趕到對小球的壓力，結(jié)合小球在運動過程中機械能守恒，即可推導出壓力之差的表達式，從而可知選項D的正誤．

解答 解：A、小球在最低點時，由牛頓第二定律得：F_N1-mg-k△x=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，其中k△x=mg；從最低點到最高點的過程，根據(jù)動能定理得：
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+mg•2R
在最高點：F_N2+mg-k△x=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，聯(lián)立解得：F_N1-F_N2=6mg，故A正確；
BD、小球運動到最高點速度為零時假設(shè)沒有離開圓軌道，則此時彈簧的彈力 F_彈=k△x=$\frac{mg}{R}$•R=mg，此時小球沒有離開圓軌道，故B錯誤，D正確；
C、若小球到達最高點的速度恰為零，則根據(jù)動能定理得$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mg•2R，解得 v₀=$\sqrt{4gR}$，故只要v₀＞$\sqrt{4gR}$，小球就能做完整的圓周運動，故C正確．
本題選錯誤的，故選：B

點評 本題涉及到的知識點較多，解答中要注意一下幾點：
1、正確的對物體進行受力分析，計算出沿半徑方向上的合外力，利用向心力公式進行列式．
2、注意臨界狀態(tài)的判斷，知道臨界狀態(tài)下受力特點和運動的特點．
3、熟練的判斷機械能守恒的條件，能利用機械能守恒進行列式求解．