Question

1．如圖所示，質量為0.5千克的物體，從球面頂點，沿半徑R=1米的粗糙半球面由靜止下滑，物體落地時速度大小為3米/秒，空氣阻不計，求：
（1）物體克服摩擦力所做的功；
（2）物體離開球面時下降的高度．

Answer 1

分析 （1）根據物體從靜止下滑到物體落地整個過程應用動能定理求解；
（2）根據物體離開球面時球面對物體的支持力為零，再對物體開始運動到離開球面過程應用動能定理即可求解．

解答 解：（1）物體下滑過程受重力、支持力、摩擦力作用，支持力不做功，故對下滑過程應用動能定理可得：$mgR+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
所以，${W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-mgR=-2.75J$；
所以，物體克服摩擦力所做的功為2.75J；
（2）設物體離開球面時下降的高度為h，那么由動能定理可得：$mgh+{W}_{f}=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$；
物體在剛要離開球面時，球面對物體的支持力為零，即重力沿徑向分量正好等于向心力，即$mg\frac{R-h}{R}=\frac{mv{′}^{2}}{R}$；
所以，mg（R-h）=2（mgh+W_f），
所以，$h=\frac{mgR-2{W}_{f}}{3mg}=\frac{0.5×10×1+2×2.75}{3×0.5×10}m=0.7m$；
答：（1）物體克服摩擦力所做的功為2.75J；
（2）物體離開球面時下降的高度為0.7m．

點評 經典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．