Question

16．某同學(xué)設(shè)計(jì)了一款益智類的兒童彈射玩具，模型如圖所示，AB段是長(zhǎng)度連續(xù)可調(diào)的豎直伸縮桿，BCD段是半徑為R的四分之三圓弧穹桿，DE段是長(zhǎng)度為2R的水平桿，與AB桿稍稍錯(cuò)開．豎直桿內(nèi)裝有下端固定且勁度系數(shù)較大的輕質(zhì)彈簧，在彈簧上端放置質(zhì)量為m的小球．每次將彈簧的長(zhǎng)度壓縮至P點(diǎn)后鎖定，設(shè)PB的高度差為h，解除鎖定后彈簧可將小球彈出．在彈射器的右側(cè)裝有可左右移動(dòng)的寬為2R的盒子用于接收小球，盒子的左端最高點(diǎn)Q和P點(diǎn)等高，且與E的水平距離為x，已知彈簧鎖定時(shí)的彈性勢(shì)能E_P=9mgR，小球與水平桿的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，與其他部分的摩擦不計(jì)，不計(jì)小球受到的空氣阻力及解除鎖定時(shí)的彈性勢(shì)能損失，不考慮伸縮豎直桿粗細(xì)變化對(duì)小球的影響且管的粗細(xì)遠(yuǎn)小于圓的半徑，重力加速度為g．求：
（1）當(dāng)h=3R時(shí)，小球到達(dá)管道的最高點(diǎn)C處時(shí)的速度大小v_C；
（2）在（1）問中小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C時(shí)對(duì)管道作用力的大�。�
（3）若h連續(xù)可調(diào)，要使該小球能掉入盒中，求x的最大值？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)P到C過程機(jī)械能守恒求解；
（2）通過向心力公式求得在C點(diǎn)的向心力，然后對(duì)小球進(jìn)行受力分析得到軌道對(duì)小球的作用力，即可由牛頓第三定律求得小球?qū)�軌道的作用力�?br />（3）根據(jù)動(dòng)能定理求得小球在E點(diǎn)的速度，然后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式求解．

解答 解：（1）小球從P到C過程只有重力和彈簧彈力做功，機(jī)械能守恒，故有：${E}_{p}=mg（h+R）+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，所以，${v}_{C}=\sqrt{\frac{2[{E}_{p}-mg（h+R）]}{m}}=\sqrt{10gR}$；
（2）小球在C點(diǎn)所需向心力$F=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}=10mg$，方向豎直向下；故對(duì)小球在C點(diǎn)進(jìn)行受力分析可知：小球受到管道對(duì)小球的作用力為9mg，方向豎直向下；
所以，由牛頓第三定律可知：小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C時(shí)對(duì)管道作用力的大小為9mg；
（3）解：對(duì)小球從A到E應(yīng)用動(dòng)能定理可得：${E}_{p}-mg（h-R）-μmg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{E}}^{2}$，所以，${v}_{E}=\sqrt{2g（9R-h）}$；
小球從P點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，故x最大可取平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移，故由平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式可得：$h-R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，$x={v}_{E}t=\sqrt{2g（9R-h）}\sqrt{\frac{2（h-R）}{g}}$=$2\sqrt{（9R-h）（h-R）}$；
所以，當(dāng)h=5R時(shí)，x取得最大值x_max=8R；
答：（1）當(dāng)h=3R時(shí)，小球到達(dá)管道的最高點(diǎn)C處時(shí)的速度大小v_C為$\sqrt{10gR}$；
（2）在（1）問中小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C時(shí)對(duì)管道作用力的大小為9mg；
（3）若h連續(xù)可調(diào)，要使該小球能掉入盒中，則x的最大值為8R．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．