Question

14．一探測器探測某星球表面時做了兩次測量．探測器先在近星軌道上做圓周運動測出    運行周期T；著陸后，探測器將一小球以不同的速度豎直向上拋出，測出了小球上升的最大高度h與拋出速度v的二次方的關系，如圖所示，圖中a，b已知，引力常量為G，忽略空氣阻力的影響，根據以上信息可求得（　　）

• A． 該星球表面的重力加速度為$\frac{2b}{a}$
• B． 該星球的半徑為$\frac{{b{T^2}}}{{8a{π^2}}}$
• C． 該星球的密度為$\frac{3π}{{G{T^2}}}$
• D． 該星球的第一宇宙速度為$\frac{4aT}{πb}$

Answer 1

分析 根據重力等于萬有引力，結合圖象的斜率即可求出重力加速度；
根據萬有引力提供向心力求出星球的質量，結合星球的體積求出星球的密度．
第一宇宙速度是衛(wèi)星在近地圓軌道上的環(huán)繞速度，重力等于萬有引力，萬有引力提供向心力，列式求解．

解答 解：A、物體豎直上拋，上升的最大高度$h=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2g}$，$h-{v}_{\;}^{2}$直線的斜率$k=\frac{1}{2g}=\frac{a}$，得$g=\frac{2a}$，故A錯誤；
B、探測器在近星軌道上做勻速圓周運動，設星球半徑為R，根據萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{GM}}$①
對星球表面任意一個物體，有$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$②
聯立①②得$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$，將$g=\frac{2a}$代入解得R=$\frac{b{T}_{\;}^{2}}{8a{π}_{\;}^{2}}$，故B正確；
C、探測器先在近星軌道上做圓周運動，根據萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，解得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
由密度公式有$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$=$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，故C正確；
D、該星球的近地衛(wèi)星的運行速度即第一宇宙速度，由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，得$v=\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2a}×\frac{b{T}_{\;}^{2}}{8a{π}_{\;}^{2}}}$=$\frac{bT}{4πa}$，故D錯誤；
故選：BC

點評 本題考查了萬有引力定律的兩個重要運用：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，通過運動學公式結合圖象求出星球表面的重力加速度是解決本題的關鍵．