Question

13．如圖為某種魚(yú)餌自動(dòng)投放器放在足夠大水塘中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長(zhǎng)為2R的豎直細(xì)管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內(nèi)有一原長(zhǎng)為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧．投餌時(shí)，每次總將彈簧長(zhǎng)度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上端放置一粒魚(yú)餌，解除鎖定，彈簧可將魚(yú)餌彈射出去．如果質(zhì)量為m的魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)，對(duì)上側(cè)管壁的彈力恰好為mg．不計(jì)魚(yú)餌在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的機(jī)械能損失，且鎖定和解除鎖定時(shí)，均不改變彈簧的彈性勢(shì)能．已知重力加速度為g、求：
（1）質(zhì)量為m的魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小V_C；
（2）彈簧壓縮到0.5R時(shí)的彈性勢(shì)能E_p；
（3）已知地面與水面相距1.5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線00′在360°角的范圍內(nèi)緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，每次彈射時(shí)只放置一粒魚(yú)餌，魚(yú)餌的質(zhì)量在$\frac{1}{2}$m到$\frac{7}{6}$m之間變化，且均能落到水面．持續(xù)投放足夠長(zhǎng)時(shí)間后，魚(yú)餌能夠落到水面的最大面積S是多少．

Answer 1

分析 （1）魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力和上側(cè)壁的壓力提供，有牛頓第二定律列出向心力的方程，速度可求．
（2）不計(jì)魚(yú)餌在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的機(jī)械能損失，所以魚(yú)餌增加的機(jī)械能都是彈簧做功的結(jié)果，由功能關(guān)系知道彈簧具有的彈性勢(shì)能等于魚(yú)餌增加的機(jī)械能．
（3）分別求出質(zhì)量是$\frac{1}{2}$m和$\frac{7}{6}$m的魚(yú)餌離開(kāi)C時(shí)的速度，再利用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出落到水平面到轉(zhuǎn)軸之間的距離，魚(yú)餌在水平面形成兩個(gè)圓面積，中間夾的環(huán)形面積即為所求．

解答 解：（1）由題意知，在C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：${F_N}+mg=m\frac{v_c^2}{R}$，F(xiàn)_N=mg，
解得：${v_c}=\sqrt{2gR}$；
（2）從出發(fā)到C點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)能量守恒：${E_p}=\frac{5}{2}mgR+\frac{1}{2}mv_c^2=\frac{7}{2}mgR$，
（3）當(dāng)魚(yú)餌的質(zhì)量為$\frac{m}{2}$時(shí)，根據(jù)能量守恒$\frac{7}{2}mgR=\frac{5}{2}•\frac{1}{2}mgR+\frac{1}{2}•\frac{1}{2}mv_{c1}^2$，
解得：${v_{c1}}=\sqrt{9gR}$，
魚(yú)餌做平拋運(yùn)動(dòng)，$h=4.5h=\frac{1}{2}g{t^2}$，
解得水平位移x₁=v_c1t=9R；
當(dāng)魚(yú)餌的質(zhì)量為$\frac{7}{6}m$時(shí)，同理解得：魚(yú)餌到C點(diǎn)速度：${v_{c2}}=\sqrt{gR}$，水平位移x₂=v_c2t=3R，
魚(yú)餌的落點(diǎn)區(qū)域?yàn)閳A環(huán)形狀，r₁=10R，r₂=4R，環(huán)形面積$s=π（{r_1^2-r_2^2}）=84π{R^2}$
答：（1）質(zhì)量為m的魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小為$\sqrt{2gR}$；
（2）彈簧壓縮到0.5R時(shí)的彈性勢(shì)能為$\frac{7}{2}mgR$；
（3）魚(yú)餌能夠落到水面的最大面積S是84πR²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)360°魚(yú)餌在水平面上形成圓周是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，這是一道比較困難的好題．