Question

13．如圖為某種魚餌自動投放器放在足夠大水塘中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細(xì)管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內(nèi)有一原長為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧．投餌時，每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上端放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去．如果質(zhì)量為m的魚餌到達管口C時，對上側(cè)管壁的彈力恰好為mg．不計魚餌在運動過程中的機械能損失，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能．已知重力加速度為g、求：
（1）質(zhì)量為m的魚餌到達管口C時的速度大小V_C；
（2）彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能E_p；
（3）已知地面與水面相距1.5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線00′在360°角的范圍內(nèi)緩慢轉(zhuǎn)動，每次彈射時只放置一粒魚餌，魚餌的質(zhì)量在$\frac{1}{2}$m到$\frac{7}{6}$m之間變化，且均能落到水面．持續(xù)投放足夠長時間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少．

Answer 1

分析 （1）魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力由重力和上側(cè)壁的壓力提供，有牛頓第二定律列出向心力的方程，速度可求．
（2）不計魚餌在運動過程中的機械能損失，所以魚餌增加的機械能都是彈簧做功的結(jié)果，由功能關(guān)系知道彈簧具有的彈性勢能等于魚餌增加的機械能．
（3）分別求出質(zhì)量是$\frac{1}{2}$m和$\frac{7}{6}$m的魚餌離開C時的速度，再利用平拋運動規(guī)律求出落到水平面到轉(zhuǎn)軸之間的距離，魚餌在水平面形成兩個圓面積，中間夾的環(huán)形面積即為所求．

解答 解：（1）由題意知，在C點，根據(jù)牛頓第二定律得：${F_N}+mg=m\frac{v_c^2}{R}$，F(xiàn)_N=mg，
解得：${v_c}=\sqrt{2gR}$；
（2）從出發(fā)到C點的過程中，根據(jù)能量守恒：${E_p}=\frac{5}{2}mgR+\frac{1}{2}mv_c^2=\frac{7}{2}mgR$，
（3）當(dāng)魚餌的質(zhì)量為$\frac{m}{2}$時，根據(jù)能量守恒$\frac{7}{2}mgR=\frac{5}{2}•\frac{1}{2}mgR+\frac{1}{2}•\frac{1}{2}mv_{c1}^2$，
解得：${v_{c1}}=\sqrt{9gR}$，
魚餌做平拋運動，$h=4.5h=\frac{1}{2}g{t^2}$，
解得水平位移x₁=v_c1t=9R；
當(dāng)魚餌的質(zhì)量為$\frac{7}{6}m$時，同理解得：魚餌到C點速度：${v_{c2}}=\sqrt{gR}$，水平位移x₂=v_c2t=3R，
魚餌的落點區(qū)域為圓環(huán)形狀，r₁=10R，r₂=4R，環(huán)形面積$s=π（{r_1^2-r_2^2}）=84π{R^2}$
答：（1）質(zhì)量為m的魚餌到達管口C時的速度大小為$\sqrt{2gR}$；
（2）彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能為$\frac{7}{2}mgR$；
（3）魚餌能夠落到水面的最大面積S是84πR²．

點評 本題考查了圓周運動最高點的動力學(xué)方程和平拋運動規(guī)律，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過360°魚餌在水平面上形成圓周是解決問題的關(guān)鍵，這是一道比較困難的好題．