Question

10．如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，在離B距離為x的A點，用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點從靜止開始推到B處后撤去恒力，質(zhì)點沿半圓軌道運動到最高點C處后水平拋出，恰好落回A點，問：
（1）推力對小球做了多少功？
（2）x取何值時，完成上述運動時所做的功最少？最少功為多少？

Answer 1

分析 （1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做勻加速直線，當?shù)竭_B點撤去恒力，讓其在沿光滑半圓軌道運動到C處后，又正好落回A點．因小球離開C點后做平拋運動，已知高度與水平位移的情況下，可求出小球在C處的速度大小，選取從A到C過程，由動能定理可求出推力對小球所做的功．
2）力F做功越小，小球到達B點的速度越小，到達最高點C的速度越小，當小球恰好到達C點時，由重力充當向心力，此時C點的速度最小，力F做功最�。�先由牛頓第二定律求出小球通過C點的最小速度，根據(jù)（1）問的結(jié)果求出x，即可得到最小功；

解答 解：（1）質(zhì)點從半圓弧軌道做平拋運動又回到A點，設(shè)質(zhì)點在C點的速度為v_C，質(zhì)點從C點運動到A點所用的時間為t，
在水平方向：x=v_Ct                          
豎直方向上：2R=$\frac{1}{2}gt_{\;}^2$      
解①②有   v_C=$\frac{x}{2}\sqrt{\frac{g}{R}}$
對質(zhì)點從A到C由動能定理有
W_F-mg•2R=$\frac{1}{2}mv_c^2$
解得 W_F=$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$            
（2）要使F力做功最少，確定x的取值，由W_F=2mgR+$\frac{1}{2}$mv²知，只要質(zhì)點在C點速度最小，則功W_F就最小．                                 
若質(zhì)點恰好能通過C點，其在C點最小速度為v，由牛頓第二定律有
mg=$\frac{{m{v^2}}}{R}$，則v=$\sqrt{Rg}$                    
則有$\frac{x}{2}\sqrt{\frac{g}{R}}$=$\sqrt{gR}$，解得：x=2R                      
當x=2R時，W_F最小，最小的功：W_F=$\frac{5}{2}$mgR       
答：（1）推力對小球做功為$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$
（2）x取何值為2R，完成上述運動時所做的功最少，最少功為$\frac{5}{2}mgR$

點評 本題要挖掘隱含的臨界條件：小球通過C點的最小速度為$\sqrt{gR}$，由動能定理求解F做功，再運用數(shù)學不等式知識求解極值