Question

10．如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個(gè)豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，在離B距離為x的A點(diǎn)，用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從靜止開始推到B處后撤去恒力，質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C處后水平拋出，恰好落回A點(diǎn)，問：
（1）推力對(duì)小球做了多少功？
（2）x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)時(shí)所做的功最少？最少功為多少？

Answer 1

分析 （1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做勻加速直線，當(dāng)?shù)竭_(dá)B點(diǎn)撤去恒力，讓其在沿光滑半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C處后，又正好落回A點(diǎn)．因小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，已知高度與水平位移的情況下，可求出小球在C處的速度大小，選取從A到C過程，由動(dòng)能定理可求出推力對(duì)小球所做的功．
2）力F做功越小，小球到達(dá)B點(diǎn)的速度越小，到達(dá)最高點(diǎn)C的速度越小，當(dāng)小球恰好到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，由重力充當(dāng)向心力，此時(shí)C點(diǎn)的速度最小，力F做功最小．先由牛頓第二定律求出小球通過C點(diǎn)的最小速度，根據(jù)（1）問的結(jié)果求出x，即可得到最小功；

解答 解：（1）質(zhì)點(diǎn)從半圓弧軌道做平拋運(yùn)動(dòng)又回到A點(diǎn)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)的速度為v_C，質(zhì)點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間為t，
在水平方向：x=v_Ct                          
豎直方向上：2R=$\frac{1}{2}gt_{\;}^2$      
解①②有   v_C=$\frac{x}{2}\sqrt{\frac{g}{R}}$
對(duì)質(zhì)點(diǎn)從A到C由動(dòng)能定理有
W_F-mg•2R=$\frac{1}{2}mv_c^2$
解得 W_F=$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$            
（2）要使F力做功最少，確定x的取值，由W_F=2mgR+$\frac{1}{2}$mv²知，只要質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)速度最小，則功W_F就最小．                                 
若質(zhì)點(diǎn)恰好能通過C點(diǎn)，其在C點(diǎn)最小速度為v，由牛頓第二定律有
mg=$\frac{{m{v^2}}}{R}$，則v=$\sqrt{Rg}$                    
則有$\frac{x}{2}\sqrt{\frac{g}{R}}$=$\sqrt{gR}$，解得：x=2R                      
當(dāng)x=2R時(shí)，W_F最小，最小的功：W_F=$\frac{5}{2}$mgR       
答：（1）推力對(duì)小球做功為$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$
（2）x取何值為2R，完成上述運(yùn)動(dòng)時(shí)所做的功最少，最少功為$\frac{5}{2}mgR$

點(diǎn)評(píng) 本題要挖掘隱含的臨界條件：小球通過C點(diǎn)的最小速度為$\sqrt{gR}$，由動(dòng)能定理求解F做功，再運(yùn)用數(shù)學(xué)不等式知識(shí)求解極值