Question

4．在有“科學界奧斯卡”之稱的美國《科學》雜志2003 年度世界科技大突破評選中，物理學中的“證明宇宙是由暗物質(zhì)和暗能量‘主宰’”的觀點名列榜首，成為當今科技突破中的頭號熱點．世界科技的發(fā)展顯示，暗物質(zhì)、暗能量正成為天體物理學研究的重點．宇宙中的暗物質(zhì)是不能直接觀測到的東西，存在的依據(jù)來自子螺旋轉(zhuǎn)的星系和星團，這些星系和星團以自身為中心高速旋轉(zhuǎn)而沒有飛散開去，僅靠自身質(zhì)量產(chǎn)生的引力是遠不足以把它們集合在一起的，一定存在暗物質(zhì)，它的吸引力足以把這些旋轉(zhuǎn)的星系牢牢抓�。�根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光學測量確定該雙星系統(tǒng)中每一個星體的質(zhì)量都是M，兩者相距L （L遠大于星體的直徑），它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動．（已知引力常量為G）
（1）若沒有其他物質(zhì)存在，試推算該雙星系統(tǒng)的運動周期T₀
（2）若實驗上觀測到的運動周期為T′，且T′：T₀=1：$\sqrt{N}$（N＞1）．為了解釋觀測周期T′和（1 ）中理論上推算的雙星運動的周期T 不同，目前有一種理論認為，在宇宙中可能存在一種用望遠鏡也觀測不到的暗物質(zhì)．作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)，而不考慮其他暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度．

Answer 1

分析 （1）雙星系統(tǒng)圍繞兩者連線的中點做圓周運動，相互間萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解運動周期T．
（2）假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)，雙星系統(tǒng)就由相互間的萬有引力的暗物質(zhì)的引力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出暗物質(zhì)的質(zhì)量，再求解其密度．

解答 解：（1）由萬有引力提供向心力有：
$G\frac{{M}^{2}}{{L}^{2}}=M•\frac{L}{2}•\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{0}}^{2}}$，
解得：
${T}_{0}=πL\sqrt{\frac{2L}{GM}}$．
（2）設(shè)暗物質(zhì)的質(zhì)量為M′，重心在O點，由萬有引力提供向心力有：
$G\frac{{M}^{2}}{{L}^{2}}+G\frac{{M}^{′}M}{{（\frac{L}{2}）}^{2}}=M•\frac{L}{2}•\frac{4{π}^{2}}{{T′}^{2}}$，
T′：T₀=1：$\sqrt{N}$，
解得：
$M′=M\frac{N-1}{4}$，
該星系間這種暗物質(zhì)的密度為：
$ρ=\frac{M′}{\frac{1}{6}π{L}^{3}}=\frac{3（N-1）M}{2π{L}^{3}}$．
答：（1）該雙星系統(tǒng)的運動周期是$πL\sqrt{\frac{2L}{GM}}$．
（2）該星系間這種暗物質(zhì)的密度$\frac{3（N-1）M}{2π{L}^{3}}$．

點評 對于雙星問題和暗物質(zhì)問題，關(guān)鍵都要建立模型，確定向心力的來源．若雙星圓周運動的圓心不在連線的中點，要采用隔離法研究．