Question

4．科學(xué)家發(fā)現(xiàn)宇宙當(dāng)中存在許多“黑洞”，“黑洞”的邊界可以認(rèn)為任何物質(zhì)包括光都不能從其內(nèi)部射出，目前我們可通過(guò)觀察“黑洞”周圍天體的繞行運(yùn)動(dòng)情況來(lái)了解“黑洞”．現(xiàn)觀察到相距遙遠(yuǎn)的兩“黑洞”P₁、P₂周圍有許多天體繞其運(yùn)行，各天體運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑r的立方和對(duì)應(yīng)周期T的平方關(guān)系圖象如圖中的斜線P₁、P₂，不考慮相對(duì)論效應(yīng)．則（　�。�

• A． P₁與P₂的平均密度之比為$\frac{{{T}_{2}}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
• B． P₁與P₂的平均質(zhì)量之比為$\frac{{{T}_{2}}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
• C． P₁與P₂的半徑之比為$\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}$
• D． 軌道半徑為r₀的各點(diǎn)上對(duì)應(yīng)天體的向心加速度大小相同

Answer 1

分析 天體運(yùn)行繞黑洞做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力提供向心力，列式得到軌道半徑r的立方和對(duì)應(yīng)周期T的平方關(guān)系式，再進(jìn)行分析．

解答 解：ABC、設(shè)黑洞的質(zhì)量為M，天體的質(zhì)量為m．天體運(yùn)行繞黑洞做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力提供向心力，得
  G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
可得 T²=$\frac{4{π}^{2}}{GM}{r}^{3}$
可知T²-r³圖象的斜率k=$\frac{4{π}^{2}}{GM}$，則M=$\frac{4{π}^{2}}{Gk}$
所以P₁與P₂的平均質(zhì)量之比等于圖線斜率的反比，為 $\frac{{M}_{p1}}{{M}_{p2}}$=$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}$=$\frac{{T}_{2}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$，根據(jù)條件不能求出黑洞的半徑未知，所以不能求黑洞平均密度之比．故AC錯(cuò)誤，B正確．
D、軌道半徑為r₀的各點(diǎn)上對(duì)應(yīng)天體的向心加速度大小為 a=$\frac{\frac{GMm}{{r}^{2}}}{m}$=$\frac{GM}{{r}^{2}}$∝M
由于黑洞的質(zhì)量不等，所以向心加速度大小不等，故D錯(cuò)誤．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要建立物理模型，明確天體向心力的來(lái)源，知道萬(wàn)有引力提供向心力，通過(guò)列式，由數(shù)學(xué)知識(shí)研究．