Question

1．如圖所示，PQ和MN是固定于水平面內的平行光滑金屬軌道，軌道足夠長，其電阻可忽略不計．金屬棒ab、cd放在軌道上，始終于軌道垂直，且接觸良好．金屬棒ab、cd的質量均為m，長度均為L．兩金屬棒的長度恰好等于軌道的間距，它們與軌道形成閉合回路．金屬棒ab的電阻為2R，金屬棒cd的電阻為R．整個裝置處在豎直向上、磁感應強度為B的勻強磁場中．
（1）若保持金屬棒ab不動，使金屬棒cd在與其垂直的水平恒力F作用下，沿軌道以速度v做勻速運動．已知電源電動勢等于電源提供的電能與通過電源的電荷量的比值，即E=$\frac{{E}_{電}}{q}$．試從能量的角度推導論證：金屬棒cd的感應電動勢E=BLv；
（2）導體內部自由電子的定向運動形成電流，當電流不變時，宏觀上可以認為導體內的自由電子的定向運動是勻速率的．設電子的電荷量為e，求金屬棒cd中自由電子沿導線長度方向受到的平均阻力f；
（3）若先保持金屬棒ab不動，使金屬棒cd在與其垂直的水平力F′（大小未知）作用下，由靜止開始向右以加速度a做勻加速度直線運動，水平力F′作用t₀時間撤去此力，同時釋放金屬棒ab．求：
①外力F′經時間t₀對金屬棒cd施加的沖量大��；
②兩金屬棒在撤去F′后的運動過程中，通過金屬棒cd的電荷量q．

Answer 1

分析 （1）粒子做勻速直線運動，拉力與安培力平衡；再結合功能定關系及題意可以證明；
（2）粒子受電場力、洛侖茲力及阻力，沿導線方向上只有電場力和阻力；由共點力平衡相求得阻力；
（3）①先推導出安培力與時間的關系式，根據(jù)牛頓第二定律外力F與時間的關系式，作出圖象，圖象的“面積”等于外力的沖量，即可由幾何知識求得沖量；
②根據(jù)題意可明確兩導體棒的運動情況，動量定理可求得列式，由積分規(guī)律可求得位移的改變量；再由電量的計算可求得流過cd的電荷量．

解答 解：
（1）粒子做勻速直線運動，拉力等于安培力，則有：
F=BIL
由能量守恒可知，拉力做功一定等于電源所提供的電能；
則有：
E_電=Fvt；
電動勢E=$\frac{{E}_{電}}{q}$=$\frac{BLItv}{q}$；
由電流的定義可知，q=It
聯(lián)立解得：E=BLv；
故可證；
（2）電動勢E=BLv；
ac棒兩端的電勢差，U=$\frac{BLv}{3}$；
cd棒兩端的電勢差為：U_cd=$\frac{2BLv}{3}$
則粒子受到的電場力Bev=f+$\frac{U}{L}$e=f+2$\frac{Bev}{3}$；
因粒子做勻速運動，故阻力f=$\frac{Bev}{3}$；
（3）CD棒切割磁感線產生的感應電動勢E=Bl₁v
時刻t的感應電流I=$\frac{E}{3R}$=$\frac{BLa{t}_{0}}{3R}$
CD棒在加速過程中，根據(jù)由牛頓第二定律 F-BIl₁=ma
解得：F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{3R}{t}_{0}$+ma
$F=\frac{{{B^2}l_1^2a}}{R}t+ma$
根據(jù)上式，可得到外力F隨時間變化的圖象如圖所示，由圖象面積可知：經過時間t₀，外力F的沖量I
I=$\frac{1}{2}$[（$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{3R}{t}_{0}$+ma+ma]t₀
解得：I=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}^{2}}{6R}$+mat₀

②設從撤去F′到ab、cd棒的剛好達到相同速度的過程中的某時刻，ab、cd的速度差為△v，則此時回路中產生的感應電動勢E_i=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BL△x}{△t}$=BL△v
此時回路中的感應電流I_i=$\frac{E}{{R}_{總}}$=$\frac{BL△v}{3R}$
此時ab棒所受安培力F_i=BI_iL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△v}{3R}$
對ab棒根據(jù)動量定理有：F_i△t=m△v₂
對從撤去F′到ab、cd棒剛好達到相同速度的過程求和
則有：$\sum_{i=1}^{n}\frac{{B}^{2}{L}^{2}△v}{3R}△{t}_{i}$=mv₂，即
$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{3R}\sum_{i=1}^{n}△v△{t}_{i}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{3R}$△x=mv₂
又因v₂=$\frac{{v}_{1}}{2}$=$\frac{a{t}_{0}}{2}$
所以解得最大距離改變量△s=$\frac{3ma{t}_{0}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
流過的電荷量q=$\overline{I}$t=$\frac{△Φ}{3R△t}△t$=$\frac{B△S}{3R}$=$\frac{ma{t}_{0}}{2BL}$
答：（1）證明如上；
（2）阻力大小為$\frac{Bev}{3}$
（3）①金屬棒ab產生的沖量為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}^{2}}{6R}$+mat₀
②兩金屬棒在撤去F′后的運動過程中，通過金屬棒cd的電荷量q為$\frac{ma{t}_{0}}{2BL}$

點評 本題考查法拉第電磁感應定律、動量守恒定律及功能關系的應用；要注意能正確應用數(shù)學規(guī)律進行分析求解，如本題中包括圖象和積分的規(guī)律；這是本題中的難點所在．