Question

10．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中的第一象限內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于坐標(biāo)平面向里的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（圖中未畫出）；在第二象限內(nèi)存在沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E．一粒子源固定在x軸上的A（-L，0）點(diǎn)，沿y軸正方向釋放電子，電子經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后能通過(guò)y軸上的C（0，2$\sqrt{3}$L）點(diǎn)，再經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好垂直擊中ON，ON與x軸正方向成30°角．已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，不考慮粒子的重力和粒子之間的相互作用，求：
（1）電子的釋放速度v的大�。�
（2）電子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度方向與y軸正方向的夾角θ；
（3）圓形磁場(chǎng)的最小半徑R_min．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類似平拋運(yùn)動(dòng)，x方向勻速，y方向勻加速，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解；
（2）先根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解出x、y方向的分速度，然后根據(jù)幾何關(guān)系列式求解；也可以根據(jù)類似平拋運(yùn)動(dòng)速度偏轉(zhuǎn)角的正切是位移偏轉(zhuǎn)角正切的2倍直接求解；
（3）先根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解出軌跡的半徑，然后畫出軌跡圖，確定磁場(chǎng)的最小半徑．

解答 解：（1）粒子在垂直電場(chǎng)方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在沿電場(chǎng)方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
有：$2\sqrt{3}L=vt$，
L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}\frac{eE}{m}{t}^{2}$，
聯(lián)立兩式解得v=$\frac{2\sqrt{3}L}{\sqrt{\frac{2mL}{eE}}}$．
（2）設(shè)電子到達(dá)C點(diǎn)的速度大小為v_c，方向與y軸正方向的夾角為θ．
根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：$vt=2\sqrt{3}L$，$\frac{{v}_{x}}{2}t=L$，
tanθ=$\frac{{v}_{x}}{v}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得θ=30°．
${v}_{C}=\frac{v}{cos30°}=\frac{2\sqrt{2EeLm}}{m}$．
（3）粒子的軌跡如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系知，∠QO₁P=120°，
根據(jù)$R=\frac{m{v}_{C}}{qB}$得，R=$\frac{2\sqrt{2EemL}}{Be}$．
根據(jù)幾何關(guān)系知，磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑R_min=$Rcos30°=\frac{2\sqrt{2EemL}}{Be}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6meEL}}{eB}$．
答：（1）電子的釋放速度v的大小為$\frac{2\sqrt{3}L}{\sqrt{\frac{2mL}{eE}}}$；
（2）電子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度方向與y軸正方向的夾角θ為30度；
（3）圓形磁場(chǎng)的最小半徑為$\frac{\sqrt{6meEL}}{eB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中粒子先在電場(chǎng)中做類似平拋運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要注意兩個(gè)軌跡的連接點(diǎn)，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律以及幾何關(guān)系列式求解，其中畫出軌跡是關(guān)鍵．