Question

13．宇宙中存在質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，這些系統(tǒng)一般離其他恒星較遠(yuǎn)，通�？珊雎云渌�星體對(duì)它們的引力作用．四星系統(tǒng)通常有兩種構(gòu)成形式：一是三顆星繞另一顆中心星運(yùn)動(dòng)（三繞一），二是四顆星穩(wěn)定地分布正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)．若每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，引力常量為G，若相鄰星球的最小距離為a，求兩種構(gòu)成形式下天體運(yùn)動(dòng)的周期之比．

Answer 1

分析 確研究對(duì)象，對(duì)研究對(duì)象受力分析，找到做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的來(lái)源．
在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，
根據(jù)F_合=mr（$\frac{2π}{T}$）²，求出星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期．

解答 解：三顆星繞另一顆中心星運(yùn)動(dòng)時(shí)，其中任意一個(gè)繞行星球受到另三個(gè)星球的萬(wàn)有引力的合力提供向心力，三個(gè)繞行星球的向心力一定指向同一點(diǎn)，且中心星受力平衡，由于星球質(zhì)量相等，具有對(duì)稱關(guān)系，因此向心力一定指向中心星，繞行星一定分布在以中心星為重心的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上．
對(duì)三繞一模式，三顆繞行星軌道半徑均為a，所受合力等于向心力，因此有
$2•G\frac{{m}^{2}}{（\sqrt{3}a）^{2}}cos30°+G\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}a}{{{T}_{1}}^{2}}$…①
解得${{T}_{1}}^{2}=\frac{2（3-\sqrt{3}）{π}^{2}{a}^{3}}{GM}$…②
對(duì)正方形模式，四星的軌道半徑均為$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，同理有
$2•G\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}cos45°+G\frac{{m}^{2}}{{（\sqrt{2}a）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}a$…③
解得${T}_{2}^{2}=\frac{4（4+\sqrt{2}）{π}^{2}{a}^{3}}{7GM}$…④
故$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{（4+\sqrt{2}）（3-\sqrt{3}）}{4}}$
答：兩種構(gòu)成形式下天體運(yùn)動(dòng)的周期之比為$\sqrt{\frac{（4+\sqrt{2}）（3-\sqrt{3}）}{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．
萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律是力學(xué)的重點(diǎn)，在本題中有些同學(xué)找不出什么力提供向心力，關(guān)鍵在于進(jìn)行正確受力分析