Question

12．圖中A、B之間為一峽谷，相距d=10.0m，C為固定在懸崖上的一根橫梁，一籮筐D通過兩根輕繩掛在橫梁上，當籮筐靜止時，它正好處在峽谷AB的正中央，且和峽谷兩邊的平地差不多在同一水平面上．已知筐的質量M=200kg，每根繩的長度都是l=50.0m，筐的大小和d相比可忽略不計．現有一人位于峽谷的一邊A處，他想到達峽谷的對岸B處，在他身邊有很多質量差不多都是m=2.00kg的石塊，于是他便不斷把石塊拋入籮筐，使籮筐動起來，當筐擺到A處時，他就跨入筐中，當筐擺到B處時，再跨出筐到達B處．如果此人每次只向筐中扔一個石塊，當石塊擊中筐時，筐恰好都位于峽谷的正中央，石塊擊中筐后隨即落在筐內并和筐一起運動，石塊擊筐的時刻，其速度的大小v₀=4.0m/s，方向都是水平的，試求：
（1）此人需向籮筐中扔的石塊數．
（2）從扔出第一個石塊起到此人到達B處所經過的時間．

Answer 1

分析 （1）石塊扔入籮筐的過程，水平方向動量守恒，根據動量守恒定律列式，得到當第n個石塊進入筐時筐的速度v_n的表達式．若籮筐具有速度v_n后，恰好能擺到峽谷的A處，此時，筐上升的高度為h，由幾何關系求出h，再由能量關系求石塊數n．
（2）由運動學公式求從拋出第一個石塊到石塊進入籮筐經歷的時間t₁．籮筐擺動經歷一個周期T，第二個石塊進入筐，經歷2個周期即2T，第三個石塊進入筐，…，從第一個石塊進入筐至第n個石塊進入筐共經歷時間為t₂=（n-1）T，自第n個石塊進入筐到筐擺到A處，人跨入筐所經歷的時間為t₃=$\frac{3}{4}$T，從人跨入筐到筐擺到B處經歷時間為t₄=$\frac{1}{4}$T，再求總時間t．

解答 解：（1）設第一個石塊扔入籮筐后，筐開始運動的速度為v₁，取水平向右為正方向，由動量守恒定律有：
mv₀=（M+m）v₁ …①
解得：v₁=$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$…②
當第二個石塊剛要進籮筐時，籮筐恰好剛回到峽谷中央，速度的大小為v₁，方向與石塊速度v₀的方向相同，設石塊進入筐后，筐的速度為v₂，由動量守恒定律有
  mv₀+（M+m）v₁=（M+2m）v₂ …③
由②③兩式，得 v₂=$\frac{2m{v}_{0}}{M+2m}$…④
當第n個石塊進入筐時，筐的速度為 v_n=$\frac{nm{v}_{0}}{M+nm}$…⑤
若籮筐具有速度V_n后，恰好能擺到峽谷的A處，此時，筐上升的高度為h，則由能量關系得：
$\frac{1}{2}（M+nm）{v}_{n}^{2}$=（M+nm）gh…⑥
而：h=l-$\sqrt{{l}^{2}-\frac{1}{4}go3pdye^{2}}$…⑦
解⑤、⑥、⑦式得：n=$\frac{M\sqrt{2g（l-\sqrt{{l}^{2}-\frac{1}{4}7qlwkqn^{2}}）}}{m[{v}_{0}-\sqrt{2g（l-\sqrt{{l}^{2}-\frac{1}{4}rr3ytye^{2}}）}]}$…⑧
代入數據，得：n=128…⑨即需向籮筐中扔進128個石塊．
（2）從拋出第一個石塊到石塊進入籮筐經歷的時間為：t₁=$\frac{\frac{1}{2}d}{{v}_{0}}$…⑩
籮筐擺動經歷一個周期T，第二個石塊進入筐，經歷2個周期即2T，第三個石塊進入筐，…，從第一個石塊進入筐至第n個石塊進入筐共經歷時間為：
  t₂=（n-1）T…（11）
自第n個石塊進入筐到筐擺到A處，人跨入筐所經歷的時間 t₃=$\frac{3}{4}$T…（12）
從人跨入筐到筐擺到B處經歷時間為：t₄=$\frac{1}{4}$T…（13）
由此得自扔出第一個石塊到此人到達B處總共需時間為：
t=t₁+t₂+t₃+t₄=$\frac7sytg3p{2{v}_{0}}$+（n+$\frac{1}{4}$）T…（14）
注意到筐擺動的周期為：T=2π$\sqrt{\frac{l}{g}}$…（15）
代入數據得：t=1798.7s≈29.9min
答：（1）此人需向籮筐中扔的石塊數是128．
（2）從扔出第一個石塊起到此人到達B處所經過的時間是29.9min．

點評 本題是周期性問題，分析清楚石塊和筐的速度，采用歸納法得到速度的表達式是解題的關鍵．要抓住單擺的周期性，不能漏解．