Question

7．如圖所示，半徑為R的光滑金屬環(huán)豎直放置，環(huán)上套有一質(zhì)量為m的小球，小球開始時(shí)靜止于最低點(diǎn)．現(xiàn)給小球一沖擊，使它以初速度v₀沿環(huán)上滑，已知v₀=$\sqrt{6Rg}$．求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到環(huán)的最高點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）若金屬環(huán)粗糙，小球運(yùn)動(dòng)到環(huán)的最高點(diǎn)時(shí)速度為（Rg）${\;}^{\frac{1}{2}}$，機(jī)械能守恒嗎？你能否求出小球從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律即可求出小球在最高點(diǎn)的速度；
（2）結(jié)合（1）的解答說(shuō)明機(jī)械能是否守恒；由動(dòng)能定理即可求出摩擦力做的功．

解答 解：（1）小球向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，由于軌道光滑，只有重力做功，由機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}+2mgR=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
所以：v=$\sqrt{2gR}$
（2）小球運(yùn)動(dòng)到環(huán)的最高點(diǎn)時(shí)速度若為$\sqrt{gR}$，則：$\frac{1}{2}mv{′}^{2}+2mgR＜\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，所以小球的機(jī)械能不守恒
設(shè)摩擦力做的功為W，由動(dòng)能定理可得：$-mg2R+W=\frac{1}{2}m{v′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：W=-mgR
即小球克服摩擦力做功為mgR．
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到環(huán)的最高點(diǎn)時(shí)的速度是$\sqrt{2gR}$．
（2）若金屬環(huán)粗糙，小球運(yùn)動(dòng)到環(huán)的最高點(diǎn)時(shí)速度為$\sqrt{gR}$，機(jī)械能不守恒；小球從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中克服摩擦力所做的功是mgR．

點(diǎn)評(píng) 本題主要要掌握機(jī)械能守恒定律和動(dòng)能定理的應(yīng)用，選取好研究過(guò)程是解答的關(guān)鍵．