Question

5．如圖所示，一根足夠長的粗金屬棒MN固定放置，它的M端連一個定值電阻R，定值電阻的另一端連接在金屬軸O上，另外一根長為l的金屬棒ab，a端與軸O相連，b端與MN棒上的一點接觸，此時ab與MN間的夾角為45°．空間存在著方向垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B．現(xiàn)使ab棒以O為軸逆時針勻速轉(zhuǎn)動半周，角速度大小為ω，轉(zhuǎn)動過程中與MN棒接觸良好，兩金屬棒及導線的電阻都可忽略不計．
（1）求出電阻R中有電流存在的時間；
（2）求出這段時間內(nèi)流過電阻R的總電量；
（3）寫出這段時間內(nèi)電阻R兩端的電壓隨時間變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）當ab棒與MN接觸時，電阻R有電流，結(jié)合幾何關(guān)系得出轉(zhuǎn)動的角度，根據(jù)角速度求出電阻R有電流存在的時間．
（2）根據(jù)法拉第電磁感應定律、結(jié)合歐姆定律和電流的定義式求出這段時間內(nèi)流過電阻R的總電量．
（3）根據(jù)正弦定理求出有效切割的長度，根據(jù)轉(zhuǎn)動切割產(chǎn)生的感應電動勢公式得出電阻R兩端的電壓隨時間變化的關(guān)系式．

解答 解：（1）ab棒轉(zhuǎn)動四分之一圓周過程中與MN接觸，可知電阻R有電流存在的時間為：t=$\frac{\frac{π}{2}}{ω}=\frac{π}{2ω}$；
 （2）這段時間內(nèi)流過電阻R的總電量為：$Q=\overline I△t=\frac{{B\frac{1}{2}{l^2}}}{△tR}•△t=\frac{{B{l^2}}}{2R}$；
（3）當導體棒轉(zhuǎn)過角度ωt時，由正弦定理，有：$\frac{l}{sin（180°-45°-ωt）}=\frac{x}{sin45°}$，
又${U_R}=\frac{1}{2}B{x^2}ω$
解得：${U_R}=\frac{{B{l^2}ω}}{2（1+sin2ωt）}$．
答：（1）電阻R中有電流存在的時間為$\frac{π}{2ω}$；
（2）這段時間內(nèi)流過電阻R的總電量為$\frac{B{l}^{2}}{2R}$；
（3）這段時間內(nèi)電阻R兩端的電壓隨時間變化的關(guān)系式為${U_R}=\frac{{B{l^2}ω}}{2（1+sin2ωt）}$．

點評 本題考查了電磁感應與電路的綜合運用，掌握轉(zhuǎn)動切割產(chǎn)生的感應電動勢公式，對于電量的經(jīng)驗表達式$q=\frac{△Φ}{R}$，要牢記，并能靈活運用．