Question

6．兩物塊A、B之間壓縮輕彈簧靜止放在高度為h的光滑固定平臺(tái)上，物塊之間系一細(xì)線且與彈簧不拴接，平臺(tái)左側(cè)有質(zhì)量為M的小車，小車的上表面粗糙且與平臺(tái)等高．平臺(tái)右側(cè)與一半徑為R的固定光滑半圓軌道相切．現(xiàn)燒斷細(xì)線，兩物塊被彈簧彈開(kāi)，質(zhì)量為m的物塊A以速度v₀向左滑上小車，小車在物塊A的摩擦力作用下向左運(yùn)動(dòng)，最后物塊A落地時(shí)落地點(diǎn)距此時(shí)小車左端的水平距離為l，小車與地面之間的摩擦忽略不計(jì)．物塊B沖上半圓軌道且一直沿軌道運(yùn)動(dòng)．已知重力加速度為g，求：
（1）物塊A離開(kāi)小車以后在空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（2）物塊A離開(kāi)小車瞬間的速度v₁；
（3）物塊B的質(zhì)量范圍．

Answer 1

分析 （1）物塊A離開(kāi)小車后在空中做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)下落的高度求運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（2）物體A在小車上滑動(dòng)的過(guò)程，遵守動(dòng)量守恒定律，由此列式．結(jié)合物塊A落地時(shí)落地點(diǎn)距小車左端的水平距離l，由位移公式列式．聯(lián)立可求得物塊A離開(kāi)小車瞬間的速度v₁；
（3）細(xì)線繞斷前后動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律列式．物塊B一直沿軌道運(yùn)動(dòng)，有兩種情況：一是沿軌道升到半圓圓心高度以下某點(diǎn)再返回，另一種情況是從軌道最高點(diǎn)拋出．結(jié)合臨界條件和動(dòng)能定理求物塊B的質(zhì)量范圍．

解答 解：（1）物塊A在離開(kāi)小車后做平拋運(yùn)動(dòng)，則
   h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
（2）物塊A做平拋運(yùn)動(dòng)水平位移為 x₁=v₁t
這段時(shí)間內(nèi)小車運(yùn)動(dòng)的位移為
  x=vt
  l=x₁-x
對(duì)物塊A和小車組成的系統(tǒng)，取向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得
mv₀=mv₁+Mv
解得：v₁=$\frac{Ml\sqrt{\frac{g}{2h}}+m{v}_{0}}{M+m}$
（3）細(xì)線繞斷前后動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律得
  mv₀=m_Bv_B
解得：m_B=$\frac{m{v}_{0}}{{v}_{B}}$
物塊B一直沿軌道運(yùn)動(dòng)，有兩種情況：一是沿軌道升到半圓圓心高度以下某點(diǎn)再返回，另一種情況是從軌道最高點(diǎn)拋出．
①若物塊B沿軌道升到半圓圓心高度以下某點(diǎn)再返回，其極限情況是物塊運(yùn)動(dòng)到半圓軌道圓心高度處速度為零，設(shè)物塊被彈簧彈出時(shí)速度為v_B1，則由動(dòng)能定理得：
-m_B1gR=0-$\frac{1}{2}{m}_{B1}{v}_{B1}^{2}$
解得：v_B1=$\sqrt{2gR}$
可得：m_B1=$\frac{m{v}_{0}}{2gR}$$\sqrt{2gR}$
得：m_B≥$\frac{m{v}_{0}}{2gR}$$\sqrt{2gR}$
②若物塊B從軌道最高點(diǎn)拋出，極限情況是恰能運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)，設(shè)此種情況運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)速度為v_B，物塊被彈簧彈出時(shí)的速度為v_B2，則由牛頓第二定律得
   m_B2g=m_B2$\frac{{v}^{2}}{R}$
物塊由軌道最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得
-m_B2g•2R=$\frac{1}{2}{m}_{B2}{v}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{B2}{v}_{B2}^{2}$
解得 v_B2=$\sqrt{5gR}$
可得：m_B2=$\frac{m{v}_{0}}{5gR}$$\sqrt{5gR}$
得：m_B≤$\frac{m{v}_{0}}{5gR}$$\sqrt{5gR}$
所以物塊B的質(zhì)量范圍為m_B≥$\frac{m{v}_{0}}{2gR}$$\sqrt{2gR}$或m_B≤$\frac{m{v}_{0}}{5gR}$$\sqrt{5gR}$．
答：
（1）物塊A離開(kāi)小車以后在空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t是$\sqrt{\frac{2h}{g}}$；
（2）物塊A離開(kāi)小車瞬間的速度v₁是$\frac{Ml\sqrt{\frac{g}{2h}}+m{v}_{0}}{M+m}$．
（3）物塊B的質(zhì)量范圍為m_B≥$\frac{m{v}_{0}}{2gR}$$\sqrt{2gR}$或m_B≤$\frac{m{v}_{0}}{5gR}$$\sqrt{5gR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)、向心力公式、動(dòng)量守恒定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式的直接應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程以及受力過(guò)程，知道物塊B恰好能夠通過(guò)半圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，注意使用動(dòng)量守恒定律時(shí)要規(guī)定正方向．