Question

16．時速可以達到360km/s的高鐵，以其快捷、舒適的特色，越來越受到人們的表睞．你可曾想過這樣一個物理問題：列車對水平軌道的壓力和其運動方向之間是否相關．
力學理論和實驗證明：向東行駛的列車對水平軌道的壓力N，與其處于靜止狀態(tài)時對水平軌道的壓力N₀相比較，顯著減少．通常把這種物理現象，稱之為“厄缶效應”．作為探究“厄缶效應”課題，你可以通過完成下面的探究任務來體會之：
已知地球的質量為M，地球的半徑為R，地球的自轉周期為T，萬有引力常量為G．求：
（1）我們設想，如圖2所示，在地球赤道附近的緯線上，有一總質量為m的高速列車停在水平軌道上，當考慮到地球的自轉效應，那么列車對軌道的壓力大小N₀的表達式是什么？
（2）若上述列車，正在以相對地面的速度為v，沿水平軌道向東行駛，那么：列車對軌道的壓力大小N的表達式是什么？N₀-N的表達式又是什么？
（3）若該高速列車的總質量m=3200噸，以360km/h的速度沿水平軌道向東行駛，已知地球的半徑R=6400km，自轉周期為24h，請估算該列車對軌道的壓力差N₀-N=？（結果保留一位有效數字）

Answer 1

分析 （1）火車隨地球自轉而做圓周運動，萬有引力與支持力的合力提供向心力，應用牛頓第二定律可以求出支持力，然后求出壓力．
（2）求出火車的線速度，然后由牛頓第二定律求出支持力，再求出壓力，最后求出N₀-N的表達式．
（3）把已知數據代入表達式，求出列車對軌道的壓力差N₀-N．

解答 解：（1）靜止在赤道上的列車，由于地球的自轉，使其隨地球做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-N₀′=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R；
解得：N₀′=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R；
由牛頓第三定律可知，列車對軌道的壓力為：N₀=N₀′=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R；
（2）當列車以對地速度v沿水平軌道向東行駛，其圓周運動的線速度大小為：$v′=\frac{2πR}{T}$，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-N′=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$，
解得：N′=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-$\frac{m（\frac{2πR}{T}+v）^{2}}{R}$，
由牛頓第三定律得：N=N′=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-$\frac{m（\frac{2πR}{{T}^{2}}+v）^{2}}{R}$，
則：N₀-N=$\frac{4πmv}{T}$+$\frac{m{v}^{2}}{R}$；
（3）代入數據解得：${N}_{0}-N=\frac{4πmv}{T}+\frac{m{v}^{2}}{R}=4.6×1{0}^{4}N$；
答：（1）列車對軌道的壓力大小N₀的表達式是N₀=G $\frac{Mm}{{R}^{2}}$-m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R；
（2）列車對軌道的壓力大小N的表達式是N=G $\frac{Mm}{{R}^{2}}$-$\frac{m（\frac{2πR}{T}+v）^{2}}{R}$，N₀-N的表達式是N₀-N═$\frac{4πmv}{T}$+$\frac{m{v}^{2}}{R}$；
（3）該列車對軌道的壓力差N₀-N為4.6×10⁴N．

點評 本題是一道信息給予題，認真審題，理解題意，從題干中獲取所需信息是正確解題的前提與關鍵，應用牛頓第二定律與萬有引力公式可以解題．