Question

7．如圖所示為一種電磁裝置，由粒子源、加速電場(chǎng)、偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)、勻強(qiáng)磁場(chǎng)組成．在S點(diǎn)有一粒子源，能釋放電量為q，質(zhì)量為m的靜止帶電粒子．帶電粒子被加速電壓為U，極板間距離為d的勻強(qiáng)電場(chǎng)加速后，從正中央垂直射入電壓為U的勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)（偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中電壓正負(fù)極隨時(shí)間做周期性變化），偏轉(zhuǎn)極板長(zhǎng)度和極板距離均為L(zhǎng)，帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中一次偏轉(zhuǎn)后即進(jìn)入一個(gè)垂直紙面方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．若不計(jì)重力影響，欲使帶電粒子通過(guò)某路徑返回S點(diǎn)，求：
（1）帶電粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度大�。�
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的位置離偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中心線的距離；
（3）勻強(qiáng)磁場(chǎng)寬度D的最小值；
（4）該帶電粒子周期性運(yùn)動(dòng)的周期T．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出帶電粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度大��；
（2）粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，抓住水平方向和豎直方向具有等時(shí)性，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的位置離偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中心線的距離；
（3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可以求出粒子的軌道半徑，結(jié)合幾何關(guān)系求出勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小寬度．
（4）粒子在加速電場(chǎng)中勻加速直線勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和推論以及在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期公式求出帶電粒子的周期T．

解答 解：（1）如圖所示，電場(chǎng)對(duì)粒子加速，
由動(dòng)能定理得：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=qU$，
解得${v}_{0}=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$，
（2）粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，其加速度a為：
$\frac{qU}{L}=ma$，
粒子通過(guò)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的時(shí)間t₁為；
${t}_{1}=\frac{L}{{v}_{0}}$，
粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的側(cè)移距離y為：y=$\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$，
聯(lián)立以上可得，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的位置離電場(chǎng)中心線的距離為$h=y=\frac{1}{4}L$，
（3）粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)側(cè)向速度v_y為：v_y=at₁，
則粒子射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度v為：$v=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{\frac{5qU}{2m}}$．
以速度v進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的洛倫茲力為向心力，設(shè)運(yùn)動(dòng)半徑為R，
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
則磁場(chǎng)寬度D為：$D=R+\sqrt{{R}^{2}-{y}^{2}}$=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{5Um}{2q}}+\sqrt{\frac{5Um}{2{B}^{2}q}-\frac{{L}^{2}}{16}}$．
（4）由于粒子在電場(chǎng)加速過(guò)程中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{2}=\fracoqecpxi{\frac{{v}_{0}}{2}}$，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T′為：$T′=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$，
$tanθ=\frac{\frac{L}{2}}{\frac{L}{4}}=2$，
所以θ=arctan2．
所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₃為：${t}_{3}=\frac{T′（2π-2θ）}{2π}=\frac{2m（π-arctan2）}{qB}$，
粒子從S出發(fā)到回到S的周期T為：T=2t₁+2t₂+t₃=$4d\sqrt{\frac{m}{2qU}}+2L\sqrt{\frac{m}{2qU}}+\frac{2m（π-arctan2）}{qB}$．
答：（1）帶電粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度大小為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的位置離偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中心線的距離為$\frac{1}{4}L$；
（3）勻強(qiáng)磁場(chǎng)寬度D的最小值為$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{5Um}{2q}}+\sqrt{\frac{5Um}{2{B}^{2}q}-\frac{{L}^{2}}{16}}$；
（4）該帶電粒子周期性運(yùn)動(dòng)的周期T為$4d\sqrt{\frac{m}{2qU}}+2L\sqrt{\frac{m}{2qU}}+\frac{2m（π-arctan2）}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)中和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，關(guān)鍵作出粒子的軌跡，知道粒子在加速電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．