Question

7．如圖所示為一種電磁裝置，由粒子源、加速電場、偏轉(zhuǎn)電場、勻強磁場組成．在S點有一粒子源，能釋放電量為q，質(zhì)量為m的靜止帶電粒子．帶電粒子被加速電壓為U，極板間距離為d的勻強電場加速后，從正中央垂直射入電壓為U的勻強偏轉(zhuǎn)電場（偏轉(zhuǎn)電場中電壓正負極隨時間做周期性變化），偏轉(zhuǎn)極板長度和極板距離均為L，帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場中一次偏轉(zhuǎn)后即進入一個垂直紙面方向的勻強磁場，其磁感應強度為B．若不計重力影響，欲使帶電粒子通過某路徑返回S點，求：
（1）帶電粒子進入偏轉(zhuǎn)電場時的速度大��；
（2）帶電粒子進入磁場的位置離偏轉(zhuǎn)電場中心線的距離；
（3）勻強磁場寬度D的最小值；
（4）該帶電粒子周期性運動的周期T．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出帶電粒子進入偏轉(zhuǎn)電場時的速度大��；
（2）粒子在偏轉(zhuǎn)電場中做類平拋運動，抓住水平方向和豎直方向具有等時性，結(jié)合牛頓第二定律和運動學公式求出帶電粒子進入磁場的位置離偏轉(zhuǎn)電場中心線的距離；
（3）粒子在磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律可以求出粒子的軌道半徑，結(jié)合幾何關系求出勻強磁場的最小寬度．
（4）粒子在加速電場中勻加速直線勻加速直線運動，在偏轉(zhuǎn)電場中做類平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動，結(jié)合運動學公式和推論以及在磁場中運動的周期公式求出帶電粒子的周期T．

解答 解：（1）如圖所示，電場對粒子加速，
由動能定理得：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=qU$，
解得${v}_{0}=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$，
（2）粒子在偏轉(zhuǎn)電場中做類平拋運動，其加速度a為：
$\frac{qU}{L}=ma$，
粒子通過偏轉(zhuǎn)電場的時間t₁為；
${t}_{1}=\frac{L}{{v}_{0}}$，
粒子在偏轉(zhuǎn)電場中的側(cè)移距離y為：y=$\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$，
聯(lián)立以上可得，粒子進入磁場的位置離電場中心線的距離為$h=y=\frac{1}{4}L$，
（3）粒子離開電場時側(cè)向速度v_y為：v_y=at₁，
則粒子射出偏轉(zhuǎn)電場時的速度v為：$v=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{\frac{5qU}{2m}}$．
以速度v進入磁場做勻速圓周運動的洛倫茲力為向心力，設運動半徑為R，
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
則磁場寬度D為：$D=R+\sqrt{{R}^{2}-{y}^{2}}$=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{5Um}{2q}}+\sqrt{\frac{5Um}{2{B}^{2}q}-\frac{{L}^{2}}{16}}$．
（4）由于粒子在電場加速過程中做勻加速直線運動，則加速運動的時間${t}_{2}=\frac2cl6pqb{\frac{{v}_{0}}{2}}$，
粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期T′為：$T′=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$，
$tanθ=\frac{\frac{L}{2}}{\frac{L}{4}}=2$，
所以θ=arctan2．
所以粒子在磁場中運動的時間t₃為：${t}_{3}=\frac{T′（2π-2θ）}{2π}=\frac{2m（π-arctan2）}{qB}$，
粒子從S出發(fā)到回到S的周期T為：T=2t₁+2t₂+t₃=$4d\sqrt{\frac{m}{2qU}}+2L\sqrt{\frac{m}{2qU}}+\frac{2m（π-arctan2）}{qB}$．
答：（1）帶電粒子進入偏轉(zhuǎn)電場時的速度大小為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）帶電粒子進入磁場的位置離偏轉(zhuǎn)電場中心線的距離為$\frac{1}{4}L$；
（3）勻強磁場寬度D的最小值為$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{5Um}{2q}}+\sqrt{\frac{5Um}{2{B}^{2}q}-\frac{{L}^{2}}{16}}$；
（4）該帶電粒子周期性運動的周期T為$4d\sqrt{\frac{m}{2qU}}+2L\sqrt{\frac{m}{2qU}}+\frac{2m（π-arctan2）}{qB}$．

點評 本題考查了粒子在電場中和磁場中的運動問題，關鍵作出粒子的軌跡，知道粒子在加速電場中做勻加速直線運動，在偏轉(zhuǎn)電場中做類平拋運動，在勻強磁場中做圓周運動，結(jié)合動能定理和運動學公式進行求解．