Question

12．如圖所示，一質(zhì)量 m=2kg的滑塊從高h(yuǎn)=1.5m處無初速度下落，沿切線方向進(jìn)入固定的$\frac{1}{4}$粗糙圓弧AB，圓弧半徑R=1.5m，再經(jīng)長l=4m的粗糙平面BC滑上靜止于光滑水平地面上質(zhì)量M=4kg的足夠長的長木板，長木板M的上表面與BC面齊平，與C點(diǎn)的間隙可忽略，滑塊滑至C點(diǎn)時(shí)的速度v_c=6m/s．當(dāng)滑塊m滑至長木板M上表面的同時(shí)施加給M-個(gè)大小F=6N的水平向右的作用力，經(jīng)t₀=1s撤去F．已知滑塊m與粗糙圓弧AB，粗糙平面BC及M的上表面的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.2，（g取10m/s²）求：
（1）滑塊m在粗糙圓弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)克服摩擦力所做的功．
（2）滑塊m與長木板M的最終速度的大小及滑塊m在長木板M上表面上滑動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理求出到達(dá)C點(diǎn)的過程中滑塊克服摩擦力做的功．
（2）分別對(duì)滑塊和長木板進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律它們的加速度的大小，然后又速度公式求出各自的速度，比較；由于滑塊的速度仍然大于長木板的速度，此后，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出共同的速度，由功能關(guān)系求出產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）物塊到達(dá)C點(diǎn)的速度為v_C，由動(dòng)能定理得：
$mg（h+R）-{μmg•l-W}_{fAB}=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-0$
代入數(shù)據(jù)解得：W_fAB=8J，
即滑塊m在粗糙圓弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)克服摩擦力所做的功的8J．
（2）m與M之間的摩擦力：f=μmg=0.2×2×10=4N
m在長木板上做加速運(yùn)動(dòng)，加速度：${a}_{1}=\frac{f}{m}=\frac{4}{2}=2m/{s}^{2}$
1s后滑塊的速度：v₁=v_C-a₁t₀=6-2×1=4m/s
對(duì)長木板進(jìn)行受力分析可知，長木板在水平方向受到向右的拉力和m對(duì)M的向右的摩擦力，長木板的加速度：${a}_{2}=\frac{f+F}{M}=\frac{4+6}{4}=2.5m/{s}^{2}$
1s后長木板的速度：v_木=a₂t₀=2.5×1=2.5m/s
可知，1s后長木板的速度仍然小于滑塊的速度，設(shè)物塊和小車的最終速度為v，選取向右為正方向，由系統(tǒng)動(dòng)量守恒得：mv₁+Mv_木=（m+M）v
代入數(shù)據(jù)得：v=3m/s
長木板在1s內(nèi)的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{0}^{2}=\frac{1}{2}×2.5×{1}^{2}=1.25$m
滑塊在1s內(nèi)的位移：${x}_{2}={v}_{C}{t}_{0}-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{0}^{2}=6×1-\frac{1}{2}×2×{1}^{2}=5$m
該段時(shí)間內(nèi)滑塊相對(duì)于長木板的位移：△x=x₂-x₁=5-1.25=3.75m
產(chǎn)生的熱量：Q₁=f•△x=4×3.75=15J
撤去拉力后產(chǎn)生的熱量為：${Q}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{木}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）{v}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×{4}^{2}+\frac{1}{2}×4×2．{5}^{2}-\frac{1}{2}×（2+4）×{3}^{2}=1.5$J
所以滑塊m在長木板M上表面上滑動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的熱量：Q=Q₁+Q₂=15+1.5=16.5J
答：（1）滑塊m在粗糙圓弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)克服摩擦力所做的功是8J．
（2）滑塊m與長木板M的最終速度的大小是3m/s；滑塊m在長木板M上表面上滑動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的熱量是16.5J．

點(diǎn)評(píng) 本題首先要分析物理過程，確定研究對(duì)象，其次要把握解題的規(guī)律，采用機(jī)械能守恒、動(dòng)量守恒結(jié)合研究，難度適中．