Question

4．如圖所示，兩條光滑平行金屬導(dǎo)軌水平放置，間距為L，導(dǎo)軌左端接有一定值電阻，阻值為R，導(dǎo)軌處于長度為x的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向豎直向下．在導(dǎo)軌上距離磁場左邊界x處放置一質(zhì)量為m、長為L、阻值也為R的金屬棒，將一水平向右的恒力F作用在金屬棒上，使金屬棒由靜止開始運(yùn)動(dòng)，金屬棒運(yùn)動(dòng)到磁場中間時(shí)恰好開始做勻速運(yùn)動(dòng)．其他電阻不計(jì)，已知在金屬棒從開抬運(yùn)動(dòng)到剛好離開磁場的過程中，金屬棒始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好．
（1）求該過程金屬棒中所產(chǎn)生的焦耳熱Q．
（2）求該過程金屬棒所經(jīng)歷的總時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）金屬棒在左側(cè)無磁場區(qū)域做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得獲得的速度，進(jìn)入磁場后做勻速運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生的安培力等于拉力，聯(lián)立求得拉力大小，在磁場區(qū)域內(nèi)根據(jù)能量守恒求得產(chǎn)生的焦耳熱；
（2）金屬棒在左側(cè)無磁場區(qū)域做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得獲得的速度，進(jìn)入磁場后做勻速運(yùn)動(dòng)，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求的總時(shí)間

解答 解：（1）金屬棒到達(dá)磁場邊界時(shí)的速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理可得：$Fx=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：$v=\sqrt{\frac{2Fx}{m}}$，
進(jìn)入此場后，做勻速 運(yùn)動(dòng)，則產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為：E=BLv，
產(chǎn)生的安培力為：${F}_{安}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$，
此時(shí)有：F=F_安，聯(lián)立解得：F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}x}{2m{R}^{2}}$，
在BC階段根據(jù)能量守恒，故產(chǎn)生的焦耳熱為：
W=Fx=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}^{2}}{2m{R}^{2}}$
（2）在無磁場區(qū)域，根據(jù)牛頓第二定律可知：F=ma，
位移為：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
聯(lián)立解得：t=$\frac{2mR}{BL}$，
獲得的速度為：v=$\sqrt{\frac{2Fx}{m}}=\frac{\sqrt{2}BLx}{2mR}$，
在磁場區(qū)域所需時(shí)間為：$t′=\frac{x}{v}=\frac{\sqrt{2}mR}{BL}$
故經(jīng)歷的總時(shí)間為：${t}_{總}=t+t′=（2+\sqrt{2}）\frac{mR}{BL}$
答：（1）該過程金屬棒中所產(chǎn)生的焦耳熱Q為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}^{2}}{2m{R}^{2}}$．
（2）求該過程金屬棒所經(jīng)歷的總時(shí)間t為$（2+\sqrt{2}）\frac{mR}{BL}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要明確導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)過程，再對(duì)金屬棒正確受力分析，應(yīng)用安培力公式、牛頓第二定律和平衡條件等知識(shí)，即可正確解答．