Question

19．如圖所示，豎直平面內(nèi)有一個(gè)半徑為R的半圓形軌道OQP，其中Q是半圓形軌道的中點(diǎn)，半圓形軌道與水平軌道OE在O點(diǎn)相切，質(zhì)量為m的小球沿水平軌道運(yùn)動(dòng)，通過(guò)O點(diǎn)進(jìn)入半圓形軌道，恰好能夠通過(guò)最高點(diǎn)P，然后落到水平軌道上的A點(diǎn)，不計(jì)一切摩擦阻力，
求：（1）小球落地時(shí)的動(dòng)能為多大？
（2）小球落地點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為多大？
（3）小球到達(dá)Q點(diǎn)的速度大小為多少？

Answer 1

分析 小球恰好通過(guò)P點(diǎn)，重力恰好等于向心力，根據(jù)向心力公式求出P點(diǎn)的速度，進(jìn)而求出P點(diǎn)的機(jī)械能，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，則小球落地時(shí)的動(dòng)能等于P點(diǎn)的機(jī)械能；小球離開(kāi)P點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式求解小球落地點(diǎn)離O點(diǎn)的距離，根據(jù)動(dòng)能定理求解小球到達(dá)Q點(diǎn)的速度大�。�

解答 解：（1）在最高點(diǎn)，重力提供向心力，則
mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：v₀=$\sqrt{gR}$
以水平軌道平面為零勢(shì)能面，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}+mg•2R$=2.5mgR；
（2）小球離開(kāi)P點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=$\sqrt{\frac{2×2R}{g}}=2\sqrt{\frac{R}{g}}$，
則水平位移為：x=v₀t=2R
（3）小球從Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{Q}^{2}=-mgR$
解得解得：${v}_{Q}=\sqrt{3gR}$，
答：（1）小球落地時(shí)的動(dòng)能為2.5mgR
（2）小球落地點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為2R
（3）小球到達(dá)Q點(diǎn)的速度大小為$\sqrt{3gR}$

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確小球的運(yùn)動(dòng)情況，然后分過(guò)程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式和向心力公式列式求解．