Question

19．如圖所示，豎直平面內有一個半徑為R的半圓形軌道OQP，其中Q是半圓形軌道的中點，半圓形軌道與水平軌道OE在O點相切，質量為m的小球沿水平軌道運動，通過O點進入半圓形軌道，恰好能夠通過最高點P，然后落到水平軌道上的A點，不計一切摩擦阻力，
求：（1）小球落地時的動能為多大？
（2）小球落地點離O點的距離為多大？
（3）小球到達Q點的速度大小為多少？

Answer 1

分析 小球恰好通過P點，重力恰好等于向心力，根據向心力公式求出P點的速度，進而求出P點的機械能，整個運動過程中機械能守恒，則小球落地時的動能等于P點的機械能；小球離開P點后做平拋運動，根據平拋運動的基本公式求解小球落地點離O點的距離，根據動能定理求解小球到達Q點的速度大�。�

解答 解：（1）在最高點，重力提供向心力，則
mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：v₀=$\sqrt{gR}$
以水平軌道平面為零勢能面，根據機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}+mg•2R$=2.5mgR；
（2）小球離開P點后做平拋運動，則運動時間為：t=$\sqrt{\frac{2×2R}{g}}=2\sqrt{\frac{R}{g}}$，
則水平位移為：x=v₀t=2R
（3）小球從Q點運動到P點的過程中，根據動能定理得：
$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{Q}^{2}=-mgR$
解得解得：${v}_{Q}=\sqrt{3gR}$，
答：（1）小球落地時的動能為2.5mgR
（2）小球落地點離O點的距離為2R
（3）小球到達Q點的速度大小為$\sqrt{3gR}$

點評 本題關鍵是明確小球的運動情況，然后分過程運用機械能守恒定律、平拋運動的分位移公式和向心力公式列式求解．